1
00:00:05.619 --> 00:00:09.900
게임 기본편
게임을 지탱하는 기초 수학 6 벡터의 내적

2
00:00:09.900 --> 00:00:12.141
CC사관학교

3
00:00:27.639 --> 00:00:29.200
여러분 안녕하십니까

4
00:00:29.201 --> 00:00:31.101
게임소확의 이득우입니다

5
00:00:31.101 --> 00:00:34.360
이번 시간에는 내적에 대해 알아보도록 하겠습니다

6
00:00:34.680 --> 00:00:36.441
내적이란 무엇인지

7
00:00:36.442 --> 00:00:41.171
그리고 내적을 어떤식으로 활용할 수 있는지에 대해서 소개해볼까 합니다

8
00:00:41.172 --> 00:00:45.067
벡터 내적의 개념

9
00:00:45.599 --> 00:00:48.401
자 벡터의 내적이라고 하는 것은

10
00:00:48.401 --> 00:00:54.769
벡터상에서 동작하는 어떤 특별한 연산 방법이라고 할 수가 있는데요

11
00:00:55.153 --> 00:01:00.320
앞서서 우리가 벡터에 대해서 기본적인 연산에 대해서 알아봤었죠

12
00:01:00.560 --> 00:01:04.170
벡터와 벡터의 덧셈,벡터와 스칼라의 곱셈

13
00:01:04.170 --> 00:01:08.806
이 두가지가 바로 벡터가 가지고 있는 기본 연산이었고

14
00:01:08.806 --> 00:01:14.360
이 기본 연산을 사용해 우리는 선형 조합식을 만들어서

15
00:01:14.360 --> 00:01:18.220
새로운 벡터를 벡터 공간 안에서 생성할 수가 있었습니다

16
00:01:18.879 --> 00:01:22.721
하지만 이런 기본 연산만 가지고 벡터를 활용하기에는

17
00:01:22.721 --> 00:01:24.664
조금 부족한 부분이 있는데요

18
00:01:25.080 --> 00:01:31.143
그래서 수학자들이 유용하게 사용할 수 있는 특별한 연산을 발견해서

19
00:01:31.144 --> 00:01:35.092
이것들이 지금 응용 단계에서 굉장히 많이 활용이 되고 있습니다

20
00:01:35.440 --> 00:01:38.400
그 두가지가 벡터의 내적과 외적 인데요

21
00:01:38.687 --> 00:01:42.927
이번 시간에는 그 중에 하나인 내적 연산에 대해서 알아보는 겁니다

22
00:01:44.740 --> 00:01:49.341
유용한 연산들은 어떤 것들이 있는지 정리해 봤는데

23
00:01:49.342 --> 00:01:50.843
벡터와 벡터의 곱셈

24
00:01:50.844 --> 00:01:55.143
즉,각 요소들끼리 곱하는 연산도 하나 생각해 볼 수가 있습니다

25
00:01:55.423 --> 00:02:01.123
근데 이것은 주로 이제 색상끼리 혼합할 때 많이 사용하는 방법이고

26
00:02:02.144 --> 00:02:05.749
그 외적인 부분에서 벡터를 응용할 때는 그렇게 사용되지는 않습니다

27
00:02:06.203 --> 00:02:09.381
그 다음에 지금 이제 이야기할 벡터의 내적은

28
00:02:09.382 --> 00:02:14.741
거의 대부분의 벡터의 응용 과정에서 많이 사용한다

29
00:02:14.980 --> 00:02:20.857
거의 한 70-80%는 거의 벡터 내적으로 시작한다고 해도 과언이 아닐 정도로

30
00:02:20.858 --> 00:02:25.803
모든 응용 단계에서 항상 사용되는 중요한 연산이라고 할 수가 있습니다

31
00:02:26.219 --> 00:02:28.641
그 다음에 벡터의 외적이란 연산이 있는데요

32
00:02:28.641 --> 00:02:32.311
이것은 3차원에서만 성립하는 특별한 연산이고

33
00:02:32.600 --> 00:02:35.221
이후에 우리가 3차원을 진행할 때

34
00:02:35.221 --> 00:02:38.051
이때 외적에 대해서 다시 설명을 드릴 예정입니다

35
00:02:39.300 --> 00:02:42.780
자 그러면 오늘의 주제인 벡터의 내적에 대해서 알아보겠는데요

36
00:02:43.099 --> 00:02:46.419
벡터의 내적은 보시는 것처럼

37
00:02:46.420 --> 00:02:49.103
이렇게 2차원 벡터 2개가 있을때

38
00:02:49.319 --> 00:02:50.401
각 요소

39
00:02:50.742 --> 00:02:54.234
x 요소들끼리 곱하고 y 요소끼리 곱한 다음에

40
00:02:54.234 --> 00:02:57.909
서로 더해주는 형태의 연산을 의미합니다

41
00:02:58.240 --> 00:03:03.001
지금 예제에서는 2차원에 대한 부분만 제가 예를 들었는데

42
00:03:03.002 --> 00:03:05.212
이건 3차원 4차원 5차원

43
00:03:05.212 --> 00:03:08.123
이렇게 n 차원으로 쭉 늘어나도

44
00:03:08.123 --> 00:03:11.278
같은 요소들끼리 곱한 다음에 더하기 때문에

45
00:03:11.279 --> 00:03:15.092
어떤 차원의 벡터든지 상관없이 동작하는

46
00:03:15.093 --> 00:03:16.893
아주 평범한 연산이고

47
00:03:17.340 --> 00:03:18.642
여기서 알 수 있는 것은

48
00:03:18.642 --> 00:03:23.153
벡터 내적은 각 요소들을 곱한 다음에 더해주기 때문에

49
00:03:23.162 --> 00:03:27.776
항상 결과 값은 스칼라가 되는 것을 알 수 있습니다

50
00:03:29.479 --> 00:03:33.821
자 이러한 벡터 내적이 가지고 있는 연산의 성질에 대해서

51
00:03:33.821 --> 00:03:35.240
제가 정리해 봤습니다

52
00:03:35.544 --> 00:03:37.924
먼저 교환법칙이 성립합니다

53
00:03:38.184 --> 00:03:43.141
당연히 스칼라의 곱셈과 덧셈으로 진행이 되기 때문에

54
00:03:43.381 --> 00:03:47.720
교환법칙이 성립하는 더셈 연산과 곱셈 연산에 대해서

55
00:03:47.721 --> 00:03:52.141
교환법칙이 성립하는 구조의 특징상

56
00:03:52.141 --> 00:03:57.260
벡터 내적은 교환법칙이 성립한다고 할 수가 있습니다

57
00:03:57.780 --> 00:04:00.041
그 다음에는 결합법칙인데요

58
00:04:00.352 --> 00:04:03.011
사실 결합법칙이라고 부르기 애매한게

59
00:04:03.012 --> 00:04:08.151
이미 내적을 한 순간에는 스칼라 값으로 변하기 때문에

60
00:04:08.640 --> 00:04:11.500
이것이 동등한 연산이라고 보기는 어렵습니다

61
00:04:11.501 --> 00:04:14.221
여기서 스칼라 값이 나왔기 때문에

62
00:04:14.222 --> 00:04:16.538
스칼라 벡터 연산이 되고요

63
00:04:16.839 --> 00:04:20.776
이 또한 마찬가지로 스칼라와 벡터 연산으로 되기 때문에

64
00:04:21.157 --> 00:04:25.936
어쨌든 지금까지 우리가 살펴본 동등한 요소들끼리의

65
00:04:26.177 --> 00:04:30.657
두 번 연속 진행하는 연산 형태가 아니라는 것이죠

66
00:04:31.240 --> 00:04:33.758
그래서 결합법칙은 어쨌든

67
00:04:34.579 --> 00:04:38.244
성격 자체도 성립하지 않고 결과 값도 다르기 때문에

68
00:04:38.604 --> 00:04:40.884
결합법칙은 성립하지 않는다 라고

69
00:04:40.885 --> 00:04:42.626
짤막하게 요약할 수가 있습니다

70
00:04:43.446 --> 00:04:45.721
그렇다면 분배법칙은 어떻게 될까요

71
00:04:46.062 --> 00:04:47.722
분배법칙의 경우에는

72
00:04:47.723 --> 00:04:52.500
어차피 우리가 벡터를 먼저 계산하면 벡터가 되고

73
00:04:52.500 --> 00:04:55.228
이것을 내적하면 스칼라 값이 되고요

74
00:04:55.640 --> 00:04:58.689
마찬가지로 우리가 각각을 내적을 진행하면

75
00:04:58.689 --> 00:05:00.894
스칼라와 스칼라의 덧셈이 되는데

76
00:05:01.055 --> 00:05:04.915
이것은 이제 결과가 동일하게 진행이 됩니다

77
00:05:04.915 --> 00:05:07.640
그렇기 때문에 분배법칙은 성립한다

78
00:05:07.640 --> 00:05:09.192
이렇게 정리할 수가 있겠습니다

79
00:05:09.559 --> 00:05:11.220
다시 정리하면

80
00:05:11.221 --> 00:05:16.116
벡터 내적은 교환법칙이 성립하지만 결합법칙은 성립하지 않고

81
00:05:16.302 --> 00:05:19.702
분배법칙은 성립한다로 요약할 수가 있겠습니다

82
00:05:21.920 --> 00:05:28.326
이렇게 분배법칙이 성립하는 벡터 내적의 식을

83
00:05:28.327 --> 00:05:31.233
우리가 특징을 살펴보면

84
00:05:31.497 --> 00:05:35.536
같은 벡터의 덧셈을 내적한다라고 하면

85
00:05:36.000 --> 00:05:40.302
여기서는 u u와 u.u와 u.v

86
00:05:40.502 --> 00:05:42.980
v.u와 v.v

87
00:05:42.981 --> 00:05:47.255
그런데 교환법칙이 성립하기 때문에 u.v와 v.u는 같기 때문에

88
00:05:47.444 --> 00:05:53.303
u.u, v.v, e.u.v의 형태로 나오게 되고요

89
00:05:53.920 --> 00:05:57.981
여기서 우리가 같은 벡터를 내적하는 결과에 대해서

90
00:05:57.981 --> 00:05:59.501
잠깐 살펴볼 텐데요

91
00:05:59.920 --> 00:06:03.520
같은 벡터를 내적하게 되면 여기서 보는 것처럼

92
00:06:03.890 --> 00:06:07.390
같은 요소끼리 당연히 제곱 형태가 되겠죠

93
00:06:07.390 --> 00:06:10.781
그리고 더하고 다시 두 번째 요소를 제곱하고

94
00:06:11.002 --> 00:06:14.681
세 번째 요소를 제곱하고 네 번째 요소를 제곱해서 더하는

95
00:06:14.682 --> 00:06:16.270
이런 형태가 만들어지는데

96
00:06:16.600 --> 00:06:18.669
이것은 우리가 앞서 살펴본

97
00:06:18.669 --> 00:06:24.063
벡터의 노름을 제곱하는 결과라고 볼 수가 있습니다

98
00:06:24.359 --> 00:06:29.321
그렇기 때문에 우리가 같은 벡터를 내적한다는 것은

99
00:06:29.322 --> 00:06:31.756
노름의 제곱, 벡터 크기의 제곱

100
00:06:31.756 --> 00:06:35.288
벡터 길이의 제곱의 결과를 항상 가져오게 됩니다

101
00:06:35.674 --> 00:06:39.480
그래서 위에 수식은 우리가 이렇게 바꿨을 수가 있는 거죠

102
00:06:39.800 --> 00:06:41.901
크기의 제곱으로 바꿨으면

103
00:06:42.137 --> 00:06:44.737
벡터 u 크기의 노름의 제곱

104
00:06:44.917 --> 00:06:47.237
벡터 v 노름의 제곱

105
00:06:47.237 --> 00:06:53.166
그 다음에 e.u.v의 형태로 진행이 된다

106
00:06:53.166 --> 00:06:55.660
이렇게 수식이 만들어지게 되고

107
00:06:55.901 --> 00:06:59.301
이 수식은 이후에 또 유용하게 사용되니까

108
00:06:59.301 --> 00:07:01.696
잠깐 언급해 봤습니다

109
00:07:03.160 --> 00:07:05.557
그래서 잠깐 정리한 것은

110
00:07:06.309 --> 00:07:09.709
벡터 v의 노름은 x제곱과 y제곱

111
00:07:09.709 --> 00:07:13.229
각 요소를 제곱한 것에 루트를 씌운 형태인데

112
00:07:14.313 --> 00:07:18.152
같은 벡터를 제곱한 것은 이것을 제곱하는 결과가 항상 나오기 때문에

113
00:07:19.188 --> 00:07:20.429
어떤 벡터

114
00:07:20.549 --> 00:07:26.457
n차원의 같은 벡터를 내적하면 노름의 제곱이 된다

115
00:07:26.457 --> 00:07:29.020
이렇게 결론이 나오게 됩니다

116
00:07:29.880 --> 00:07:32.220
그러면 이러한 성질을 활용해서

117
00:07:32.476 --> 00:07:34.895
벡터 내적을 어떻게 사용하냐면요

118
00:07:35.320 --> 00:07:38.381
먼저 벡터 내적이 가지고 있는 성질을 파악해야 되는데

119
00:07:38.381 --> 00:07:41.396
이것은 삼각함수와 밀접한 관계가 있습니다

120
00:07:41.640 --> 00:07:45.559
어떤 삼각함수냐면 코사인 함수와 밀접한 관련이 있어요

121
00:07:46.119 --> 00:07:49.621
그래서 벡터 내적에서 사실

122
00:07:50.762 --> 00:07:53.953
우리가 실제로 게임을 제작할 때

123
00:07:53.954 --> 00:07:56.536
응용할 때 가장 많이 사용하는 이유가

124
00:07:56.920 --> 00:08:00.041
벡터 내적이 코사인 함수와 관련이 있기 때문에

125
00:08:00.310 --> 00:08:03.709
이 코사인 함수가 가지고 있는 성질을 응용해서

126
00:08:03.710 --> 00:08:07.630
다양한 상황에서 우리가 이걸 적용할 수가 있게 된다는 것이죠

127
00:08:08.480 --> 00:08:10.719
자 그래서 그 공식이 어떻게 되냐면요

128
00:08:10.859 --> 00:08:14.215
a와 b, 벡터 a와 벡터 b의 내적은

129
00:08:14.614 --> 00:08:17.913
벡터 a의 크기와 벡터 b의 크기에

130
00:08:17.913 --> 00:08:23.147
벡터 a와 b가 이루는 사이각의 코사인 세타를 곱하는 것과

131
00:08:23.147 --> 00:08:26.547
동일하다는 수식이 있기 때문에 가능한 겁니다

132
00:08:26.719 --> 00:08:30.799
자,이 수식이 어떻게 해서 유도되는지 잠깐 살펴보도록 하겠습니다

133
00:08:31.539 --> 00:08:35.419
먼저 임의의 삼각형을 하나 그려보겠습니다

134
00:08:35.419 --> 00:08:38.259
그래서 점 A,B,C가 있고

135
00:08:38.260 --> 00:08:41.400
점 B를 원점에다 두었다고 생각을 하고요

136
00:08:41.699 --> 00:08:45.980
그 다음에 점 B에서 점A로 향하는 벡터를 벡터 C

137
00:08:46.241 --> 00:08:49.214
점B에서 점C로 향하는 벡터를 벡터a

138
00:08:49.214 --> 00:08:58.320
그러니까 점의 건너편에 있는 변을 우리가 벡터 a 라고 하고

139
00:08:58.320 --> 00:09:01.379
그 다음에 이쪽은 벡터 b 가 되겠죠

140
00:09:02.039 --> 00:09:04.621
이런 형태로 구성을 하게 되면

141
00:09:05.591 --> 00:09:10.351
이제 이 삼각형을 사용해 가지고 우리가 어떻게 저 위에

142
00:09:10.352 --> 00:09:13.584
코사인 공식이 유도되는지 한번 알아보도록 하겠습니다

143
00:09:14.000 --> 00:09:19.040
점B를 원점에 두고 변을 벡터로 설정할 때 각 점의 위치는

144
00:09:19.040 --> 00:09:22.773
앞서서도 얘기했지만 b를 0,0 이라고 했을 때

145
00:09:23.119 --> 00:09:30.530
점 c의 경우에는 평행하게 x축에 일치시킨다면

146
00:09:31.383 --> 00:09:38.574
점 A의 건너편에 해당하는 변인 벡터 a 가 될 거고

147
00:09:38.574 --> 00:09:41.901
그 다음에 양의 방향으로 우리가 설정하면

148
00:09:41.902 --> 00:09:43.948
항상 절대값을 취해 가지고

149
00:09:43.949 --> 00:09:45.627
벡터 a의 노름이 되겠죠

150
00:09:45.627 --> 00:09:46.547
길이가 되겠죠

151
00:09:46.840 --> 00:09:50.460
그래서 벡터 a 노름,0이 될 거고요

152
00:09:50.880 --> 00:09:53.860
그 다음에 점 A의 좌표 같은 경우에는

153
00:09:54.150 --> 00:09:56.670
지금 우리가 사잇각을

154
00:09:57.242 --> 00:10:04.801
벡터 c와 벡터 a의 사잇각을 각 베타라고 가정했을 때

155
00:10:04.801 --> 00:10:09.284
여기에서 높이를 우리가 구해야 되는데

156
00:10:09.285 --> 00:10:16.129
이것은 우리가 단위1 삼각함수의 공식을 했을 때

157
00:10:16.129 --> 00:10:22.341
단위1에서 밑에 어떤 빗변 벡터가 가지고 있는

158
00:10:22.341 --> 00:10:25.460
x축 성분은 코사인 세타

159
00:10:25.460 --> 00:10:27.739
y축 성분은 사인 세타였고

160
00:10:27.739 --> 00:10:33.580
그 다음에 그 반지름이 r이면 r사인세타,r코사인세타라고 이야기했죠

161
00:10:34.042 --> 00:10:41.680
그러면 여기에서 빗변 벡터 c의 크기를 우리가 알 수 있다면

162
00:10:42.500 --> 00:10:44.620
각은 베타라고 나와 있으니까

163
00:10:44.882 --> 00:10:49.302
점A의 좌표는 C의 노름의 코사인 베타

164
00:10:49.562 --> 00:10:51.617
C노름의 사인 베타가 됩니다

165
00:10:52.959 --> 00:10:56.359
이러한 기본적으로 점의 위치가 정해져 있다면

166
00:10:56.360 --> 00:10:59.344
우리가 벡터 b를 계산을 해 볼 텐데요

167
00:10:59.679 --> 00:11:02.181
벡터 b는 점C에서 점A

168
00:11:03.125 --> 00:11:06.384
점A에서 점C로 향하는 벡터라고 할 수가 있고요

169
00:11:06.760 --> 00:11:12.179
이것의 좌표는 위에 있는 것을 참고해서 다음과 같이 구할 수가 있습니다

170
00:11:13.019 --> 00:11:15.500
그렇다면 이것을 우리가 제곱한

171
00:11:16.230 --> 00:11:21.229
벡터 b의 크기를 먼저 구한 다음에 이것을 제곱한 결과를 살펴볼 텐데요

172
00:11:21.599 --> 00:11:25.440
각각 요소를 제곱하면 이런 형태로 전개가 되고

173
00:11:25.640 --> 00:11:31.090
결과적으로는 벡터 a의 노름의 제곱과 벡터 c의 노름의 제곱

174
00:11:31.091 --> 00:11:35.681
 그 다음에 2벡터 a와 벡터 c의 노름을 서로 곱한 것에

175
00:11:35.682 --> 00:11:39.276
사잇각 코사인 베타를 구해준 결과가 나옵니다

176
00:11:39.880 --> 00:11:44.632
그런데 벡터 b의 크기를 제곱했다는 것은

177
00:11:44.633 --> 00:11:50.269
이것은 벡터 b와 벡터 b를 서로 내적한 결과랑 동일하다는 것이죠

178
00:11:50.394 --> 00:11:55.180
그래서 이 결과는 벡터 b와 벡터 b를 서로 내적한 겁니다

179
00:11:55.440 --> 00:11:59.680
벡터 a에서 벡터 c로 바꿔서 표현할 수가 있는데요

180
00:11:59.980 --> 00:12:02.020
그것들을 서로 내적한 것이죠

181
00:12:02.021 --> 00:12:04.048
그것들을 서로 내적한 것이고

182
00:12:04.048 --> 00:12:05.581
자,이 결과는

183
00:12:06.755 --> 00:12:12.015
벡터 a의 노름의 제곱, 벡터 c의 노름의 제곱에다가 마이너스가 붙여서

184
00:12:12.620 --> 00:12:23.060
2ac가 마이너스 2 벡터 a와 벡터 c의 내적 a.c로 정리가 됩니다

185
00:12:23.060 --> 00:12:26.639
이 값이 뭐랑 같냐면 위에 값이랑 같다는 거죠

186
00:12:26.919 --> 00:12:28.601
그렇다면은 여기에서

187
00:12:28.862 --> 00:12:32.423
a의 노름의 제곱과 c 노름의 제곱이 상쇄가 되면서,

188
00:12:32.423 --> 00:12:33.400
소거가 되면서

189
00:12:33.640 --> 00:12:35.834
결과적으로 a와 c

190
00:12:35.834 --> 00:12:43.791
a.c는 a의 크기와 c의 크기의 사잇각 코사인 베타를 곱한 것과

191
00:12:45.730 --> 00:12:49.520
그 값이 동일하다라고 우리가 이해할 수가 있게 됩니다

192
00:12:49.521 --> 00:12:51.681
이런 결론을 만들어낼 수가 있게 됩니다

193
00:12:52.760 --> 00:12:58.380
그래서 이런 코사인 삼각함수의

194
00:12:59.006 --> 00:13:03.745
코사인 공식을 내적을 사용해서 유도해 봤고요

195
00:13:04.119 --> 00:13:06.924
여기서 두 벡터의 크기가 1이라면은

196
00:13:06.924 --> 00:13:08.396
크기가 1이기 때문에

197
00:13:08.396 --> 00:13:11.398
더욱 더 간략하게 코사인 세타

198
00:13:11.399 --> 00:13:14.715
사잇각에 대한 코사인 값으로 귀결이 됩니다

199
00:13:14.968 --> 00:13:17.520
이 부분이 굉장히 유용하게 사용하니까

200
00:13:17.521 --> 00:13:22.679
계속해서 코사인 함수와 비례하는 내적의 성질을

201
00:13:22.679 --> 00:13:24.640
우리가 계속 주목해 주면 되겠습니다

202
00:13:26.120 --> 00:13:31.661
자,이러한 코사인 함수가 가지고 있는 성질을 어떻게 응용할 수 있는지

203
00:13:31.661 --> 00:13:33.936
가장 대표적인 방법으로는

204
00:13:33.937 --> 00:13:35.337
직교성 판별입니다

205
00:13:35.337 --> 00:13:40.099
두 벡터가 서로 직각으로 구성되어 있는지를 판별하는 것인데요

206
00:13:40.659 --> 00:13:44.102
여기서 내적의 값이 0이 되는 경우는

207
00:13:44.102 --> 00:13:49.101
결국에는 코사인 세타 값이 0이 되는 경우 밖에 존재하지 않겠죠

208
00:13:49.101 --> 00:13:52.524
만약에 벡터의 크기가 있다고 하면

209
00:13:52.525 --> 00:13:53.779
0이 아니라고 하면

210
00:13:53.779 --> 00:13:56.468
당연히 코사인 세타가 0일 때만

211
00:13:56.468 --> 00:13:58.308
이 값이 0이 나오게 되겠죠

212
00:13:58.760 --> 00:14:01.521
그렇다면 언제 코사인 세타가 0이 나오냐면

213
00:14:01.521 --> 00:14:03.281
90도와 270도

214
00:14:03.281 --> 00:14:07.621
즉 90도와 마이너스 90도일 때 코사인 세타가 0이 나오고요

215
00:14:07.621 --> 00:14:12.760
그것은 바로 다음과 같이 두 벡터가 서로 직교할때만

216
00:14:12.761 --> 00:14:15.121
0이 나온다는 성질을 가지게 됩니다

217
00:14:16.320 --> 00:14:22.330
그래서 우리가 벡터 내적이 가지는 직교성을 사용한다면요

218
00:14:22.799 --> 00:14:24.740
무조건 0이

219
00:14:24.740 --> 00:14:30.264
어떤 두 벡터를 내적했을 때 0이 나왔다

220
00:14:30.919 --> 00:14:32.341
그러면 우리가 그냥

221
00:14:32.341 --> 00:14:36.073
이 두 벡터는 서로 직각이네 라고 판단할 수가 있는 겁니다

222
00:14:36.440 --> 00:14:41.079
표준 기저 벡터 1,0과 0,1을 서로 내적하면 어떻게 될까요

223
00:14:41.080 --> 00:14:44.292
1 곱하기 0 더하기 0 곱하기 1이 되니까

224
00:14:44.599 --> 00:14:46.281
당연히 0이 나오죠

225
00:14:46.281 --> 00:14:49.856
그렇다면 이것은 서로 직교한다라고 우리가 파악할 수가 있는 거고요

226
00:14:50.320 --> 00:14:53.701
여기서 각 세타만큼 각각 돌렸을 때

227
00:14:53.702 --> 00:14:56.851
당연히 직교하고 있던 벡터를 세타만큼 돌렸으니까

228
00:14:56.851 --> 00:14:59.757
우리는 얘도 직교한다는 결론을 내릴 수 있지만

229
00:15:00.000 --> 00:15:05.900
그냥 이런 시각적인 상황을 인지하지 않고

230
00:15:06.180 --> 00:15:08.925
그냥 두 벡터의 값을 내적시켜 버리면 됩니다

231
00:15:09.679 --> 00:15:11.800
그러면 코사인 세타,사인 세타와

232
00:15:11.800 --> 00:15:13.988
마이너스 사인 세타, 코사인 세타를

233
00:15:13.988 --> 00:15:15.777
그냥 서로 내적 해보면

234
00:15:16.119 --> 00:15:18.820
마이너스 코사인 세타, 사인 세타

235
00:15:19.007 --> 00:15:22.487
사인 세타, 코사인 세타가 되기 때문에 0이 되는 것을 알 수가 있죠

236
00:15:22.487 --> 00:15:25.787
그래서 이 두 가지의 벡터는

237
00:15:26.027 --> 00:15:30.260
회전을 시킨 두 벡터는 서로 직교한다는 결론을 내릴 수가 있습니다

238
00:15:31.100 --> 00:15:33.600
여기서 이제 조금 더 발전을 시키면요

239
00:15:36.127 --> 00:15:38.067
리지드 트랜스포메이션이라는 게 있습니다

240
00:15:38.068 --> 00:15:38.988
이게 뭐냐면

241
00:15:38.989 --> 00:15:42.589
리지드는 굳건하다, 단단하다 라는 뜻이죠

242
00:15:42.589 --> 00:15:46.721
그래서 이것은 물리학에서 강체라고 이야기하고

243
00:15:46.721 --> 00:15:50.673
물체의 모습이 변형되지 않는 어떤 최소 단위를 의미하는데

244
00:15:51.320 --> 00:15:54.261
아무튼 리지드 바디

245
00:15:54.261 --> 00:15:56.881
물리학에서는 리지드 바디라고 이야기하는

246
00:15:56.882 --> 00:15:59.439
게임 개발에서는 많이들 들어봤을 겁니다

247
00:15:59.439 --> 00:16:02.761
그런 개념하고 비슷하다고 생각하시면 될 거예요

248
00:16:03.326 --> 00:16:06.265
이 리지드 트랜스포메이션이라고 하는 것은

249
00:16:06.880 --> 00:16:10.400
결국에는 어떤 물체가 변환이 일어났을 때

250
00:16:11.141 --> 00:16:14.701
그 모습이 그대로 유지되는 변환을 의미합니다

251
00:16:14.701 --> 00:16:16.120
리지드 트랜스포메이션

252
00:16:16.121 --> 00:16:21.340
그래서 이 리지드 트랜스포메이션이 되는 변환의 조건은

253
00:16:22.679 --> 00:16:28.420
변환이 됐을 때 변환 이후에 기저 벡터의 크기가 1을 가지고 있고요

254
00:16:28.420 --> 00:16:32.472
그 다음에 모든 기저 벡터가 서로 직교하고 있어야 됩니다

255
00:16:32.512 --> 00:16:36.880
왜냐하면은 원공간의 벡터들이 서로 직교하고 있기 때문에

256
00:16:37.015 --> 00:16:40.714
변환된 이후에도 서로 직교하는 그 성질을 가지고 있어야 되죠

257
00:16:41.239 --> 00:16:44.660
그 다음에 마지막으로 행렬식 값이 1이 되어야 됩니다

258
00:16:44.841 --> 00:16:47.739
뒤집히는 경우를 우리가 파악해서 방지하기 위해서

259
00:16:48.120 --> 00:16:54.695
디터미넌트 만약에 어떤 함수 행렬이 있을때

260
00:16:54.695 --> 00:16:57.471
그 행렬식 값이 1인 것을 우리가 확인하면

261
00:16:57.739 --> 00:16:58.959
리지드 트랜스포메이션

262
00:16:58.960 --> 00:17:01.880
얘는 모습이 절대 변하지 않는다라는 걸

263
00:17:01.880 --> 00:17:03.244
보장할 수가 있는데요

264
00:17:03.460 --> 00:17:06.889
이것을 만족하는 대표적인 변환이 회전변환 입니다

265
00:17:07.318 --> 00:17:09.258
여기 회전변환을 살펴보면요

266
00:17:09.579 --> 00:17:13.152
각각에 대해서 우리가 그 벡터의 크기를 구했을 때

267
00:17:13.658 --> 00:17:18.182
우선은 공간을 구성하는 모든 기저 벡터의 크기가 1인 것을 볼 수가 있습니다

268
00:17:18.182 --> 00:17:22.002
자,기저 벡터 코사인 세타와 사인 세타를 우리가 봤을 때

269
00:17:22.382 --> 00:17:26.082
얘의 노름은 코사인 제곱 세타 더하기 사인 제곱 세타인데

270
00:17:26.082 --> 00:17:29.562
이것은 지난번에 피타고라스의 정리에 의해서

271
00:17:29.562 --> 00:17:31.166
1이라는 것을 알 수가 있었죠

272
00:17:31.560 --> 00:17:36.521
얘도 마찬가지로 제곱하면 음의 부호가 날아가게 되니까

273
00:17:36.522 --> 00:17:38.798
코사인 제곱 세타 사인 제곱 세타가 되면서

274
00:17:39.087 --> 00:17:42.467
두 번째 기저 벡터도 1인 것을 알 수가 있습니다

275
00:17:42.680 --> 00:17:45.880
이것은 가로로 봐도 마찬가지고 세로로 봐도 마찬가지입니다

276
00:17:46.654 --> 00:17:48.854
그 다음에 서로 직교하고 있다는 것은

277
00:17:48.855 --> 00:17:51.255
우리가 방금 전에 확인했었죠

278
00:17:51.719 --> 00:17:54.040
그 다음에 행렬식의 값을 살펴보겠습니다

279
00:17:54.041 --> 00:17:55.693
ad-bc

280
00:17:55.693 --> 00:18:00.387
즉,코사인 제곱 세타 더하기 사인 제곱 세타가 되면서

281
00:18:00.388 --> 00:18:02.204
ad-bc 값

282
00:18:02.205 --> 00:18:04.641
행렬식의 값도 1인 것을 확인할 수가 있습니다

283
00:18:05.119 --> 00:18:07.220
자 그래서 이러한 회전 변환은

284
00:18:07.221 --> 00:18:14.600
변화한 후에 어떤 물체의 모양이 형태가 변하지 않는다는 것을 보장해 주는

285
00:18:14.600 --> 00:18:16.764
특별한 변환이라고 할 수가 있고

286
00:18:16.959 --> 00:18:20.000
이것을 리지드 트랜스폼이라고도 이야기합니다

287
00:18:20.502 --> 00:18:24.642
벡터 내적의 활용

288
00:18:25.040 --> 00:18:29.859
자 이러한 벡터 내적을 실제적으로 어떻게 활용하는지 한번 살펴보겠습니다

289
00:18:30.199 --> 00:18:33.072
대표적으로 앞뒤 판별을 많이 사용하는데요

290
00:18:33.480 --> 00:18:36.919
벡터 내적이 가지고 있는 코사인 공식을 사용해서

291
00:18:36.920 --> 00:18:41.266
목표물이 앞쪽에 있는지 뒤쪽에 있는지를 파악할 수가 있습니다

292
00:18:42.165 --> 00:18:45.760
만약에 여기 그림에서 제가 어떤 사람이 있고

293
00:18:45.761 --> 00:18:49.277
앞을 바라보는 시선 벡터가 있다고 생각해 봅시다

294
00:18:49.277 --> 00:18:51.372
그러면 어떤 물체가 있을때

295
00:18:51.372 --> 00:18:53.260
물체로 향하는 벡터

296
00:18:54.020 --> 00:18:56.980
나한테서 물체로 향하는 벡터를 만들 수가 있겠죠

297
00:18:57.479 --> 00:19:00.520
이것의 값이

298
00:19:00.736 --> 00:19:02.396
사잇각을 세타라고 했을 때

299
00:19:02.982 --> 00:19:07.201
내적을 우리가 진행하면 그것이 코사인 세타에 비례하게 되는데

300
00:19:07.479 --> 00:19:09.120
코사인 세타의 경우에는

301
00:19:09.121 --> 00:19:11.943
코사인의 그래프는 0을 기준으로

302
00:19:11.944 --> 00:19:16.521
y는 x는 0일 때 1에서부터 이렇게 쭉 내려오는 형태가 되죠

303
00:19:16.521 --> 00:19:18.278
어디까지 내려오냐면

304
00:19:18.279 --> 00:19:22.532
플러스 90도 마이너스 90도까지 서서히 내려와 가지고

305
00:19:22.532 --> 00:19:23.839
0에 도달하고

306
00:19:23.840 --> 00:19:26.480
그 이후부터는 마이너스로 내려가게 됩니다

307
00:19:26.834 --> 00:19:32.761
즉 마이너스 90도 부터 90도 까지는 양수를 가진다는 얘기고요

308
00:19:32.762 --> 00:19:35.984
이것은 지금 이 사잇각을 우리가 봤을 때

309
00:19:35.984 --> 00:19:41.259
플러스 90도 마이너스 90도가 되기 전까지 양의 값을 가진다는 겁니다

310
00:19:41.479 --> 00:19:43.940
 그 이후에는 음의 값을 가지게 되는 거죠

311
00:19:44.485 --> 00:19:48.286
그렇다면 벡터의 크기라는 것은 절대로 음의 값이 나오지 않기 때문에

312
00:19:48.286 --> 00:19:52.105
우리가 내적을 사용해서 결과 값이 양수가 나왔다

313
00:19:52.319 --> 00:19:55.680
그러면 코사인 세타 값이 양수라는 얘기고요

314
00:19:55.924 --> 00:19:59.903
음수가 나왔다고 하면은 코사인 세타 값이 음수라는 것을 의미합니다

315
00:20:00.319 --> 00:20:03.964
따라서 두 벡터를 내적한 값이 양수라면

316
00:20:04.469 --> 00:20:08.109
물체는 내 시선 방향과 같은 사이드

317
00:20:08.109 --> 00:20:10.422
같은 방향에 있다는 것을 의미하고

318
00:20:10.422 --> 00:20:12.180
이것을 앞에 있다라고 표현하는 거죠

319
00:20:12.529 --> 00:20:16.540
그 다음에 내적의 값이 음수가 나왔다면 뒤에 있다라고

320
00:20:16.540 --> 00:20:18.829
우리가 파악할 수가 있게 되는 겁니다

321
00:20:19.680 --> 00:20:22.739
이것을 조금 더 응용하게 되면

322
00:20:22.740 --> 00:20:25.980
어떤 시야를 판별하는 데도 유용하게 사용할 수가 있는데요

323
00:20:26.439 --> 00:20:29.440
다음과 같은 상황에 똑같이 가정해 보겠습니다

324
00:20:29.951 --> 00:20:33.510
내가 바라보는 방향을 기준으로 해서

325
00:20:33.511 --> 00:20:39.332
내가 측정하고자 하는 물체 목표물과의 사잇각을 알파라고 했을 때

326
00:20:39.673 --> 00:20:44.800
이 알파가 주인공의 설정된 시선각

327
00:20:45.301 --> 00:20:49.400
베타 안에 들어와 있는지 바깥에 있는지

328
00:20:49.400 --> 00:20:51.987
판별하는데 사용할 수도 있습니다

329
00:20:52.119 --> 00:20:57.023
시야각이라고 하는 것은 시선벡터를 기준으로 해서

330
00:20:57.024 --> 00:20:59.193
양쪽으로 균일하게 나눈 것이기 때문에

331
00:20:59.393 --> 00:21:03.886
우리가 한쪽만 바라보면 시야각을 절반 나눈 2분의 베타 값이 되겠죠

332
00:21:05.368 --> 00:21:09.637
이 안에 결국에는 목표물이 들어가 있는지

333
00:21:09.638 --> 00:21:14.172
즉,알파가 2분의 베타보다 적은지를 우리가 파악하는

334
00:21:14.172 --> 00:21:15.929
그런 과제가 있는 겁니다

335
00:21:16.213 --> 00:21:21.121
시야에 탐지 된다고 하면 알파가 2분의 베타보다 작은 상황이 되겠죠

336
00:21:21.598 --> 00:21:25.298
그런데 우리는 이 시야각은 알고 있지만

337
00:21:25.299 --> 00:21:27.894
알파에 대한 각을 알고 있지는 않습니다

338
00:21:27.894 --> 00:21:28.760
재야 되죠

339
00:21:29.134 --> 00:21:32.074
각을 재려면 지난번에 언급한

340
00:21:32.074 --> 00:21:37.919
아크 탄젠트 같은 역함수를 사용해서 구할 수도 있지만

341
00:21:38.259 --> 00:21:40.322
내적을 사용하면 보다 효율적으로

342
00:21:40.322 --> 00:21:43.956
이 코사인의 알파 값은 몰라도

343
00:21:43.957 --> 00:21:46.444
코사인 값이 가지고 있는 성질을 사용해서

344
00:21:46.757 --> 00:21:48.817
우리가 바로 구할 수가 있게 됩니다

345
00:21:50.520 --> 00:21:52.110
자 이걸 어떻게 파악하냐면요

346
00:21:52.111 --> 00:21:55.841
우선은 코사인 2분의 베타 값을 미리 저장해둡니다

347
00:21:55.841 --> 00:21:57.439
시야각 같은 경우에는

348
00:21:58.822 --> 00:22:02.782
캐릭터에 설정된 시야 범위 같은 경우에는 바뀔 일이 많이 없기 때문에

349
00:22:03.040 --> 00:22:07.834
사실상 미리 구해놓고 저장해 두는 것이 유리하다고 할 수가 있고요

350
00:22:08.312 --> 00:22:11.352
그 다음에 시선 벡터와 목표물로 향하는

351
00:22:11.353 --> 00:22:13.658
이 벡터를 노멀라이즈

352
00:22:13.658 --> 00:22:16.873
정교화 시켜 가지고 크기를 1로 만들어줍니다

353
00:22:17.488 --> 00:22:22.381
그렇다면 두 벡터가 가지고 있는 내적 값의 결과는

354
00:22:22.382 --> 00:22:24.362
코사인 알파 값이 되겠죠

355
00:22:25.112 --> 00:22:28.111
그런데 코사인 함수의 성질을 보면

356
00:22:28.872 --> 00:22:31.672
0도에서부터 이렇게 쭉 내려가지 않습니까

357
00:22:31.672 --> 00:22:34.640
언제까지 내려가냐면 180도까지 내려갑니다

358
00:22:34.900 --> 00:22:35.620
쭉 내려갑니다

359
00:22:35.621 --> 00:22:41.832
그렇기 때문에 코사인 함수는 각이 증가할수록 값이 감소하기 때문에

360
00:22:42.199 --> 00:22:46.190
우리가 이 알파 값이 2분의 베타

361
00:22:47.593 --> 00:22:52.372
코사인 알파 값이 코사인 2분의 베타보다 크다면

362
00:22:52.373 --> 00:22:54.933
그 각은 더 작다는 것을 의미합니다

363
00:22:55.191 --> 00:22:57.644
그래서 두 코사인 값을 비교해서

364
00:22:57.645 --> 00:23:01.651
코사인 알파 값이 코사인 2분의 베타 값보다 더 크면

365
00:23:02.322 --> 00:23:05.942
이 목표물은 시야 범위 내에 있다라고

366
00:23:06.336 --> 00:23:09.356
각을 몰라도 이것을 파악할 수가 있게 됩니다

367
00:23:09.800 --> 00:23:15.443
종종 역함수를 사용하는 그런 경우들도 사용은 하지만

368
00:23:15.443 --> 00:23:19.352
이것보다는 내적이 가지고 있는 성질을 사용해서 구하면

369
00:23:19.353 --> 00:23:23.492
보다 효율적으로 구할 수가 있다는 것을 알아두시면 좋겠습니다

370
00:23:24.492 --> 00:23:27.664
 그 다음에는 음영 계산

371
00:23:27.934 --> 00:23:30.453
컴퓨터 그래픽 3차원을 다룰 때

372
00:23:30.913 --> 00:23:35.493
빛이 가지고 있는 방향에 따라서 명암

373
00:23:35.767 --> 00:23:36.900
쉐이딩이라고 하죠

374
00:23:36.900 --> 00:23:42.681
명암을 지정을 할 때 내적이 굉장히 유용하게 사용이 되는데요

375
00:23:43.241 --> 00:23:46.054
우리가 어떤 광원이 있을때

376
00:23:48.120 --> 00:23:52.581
빛이 이렇게 딱 들어와서 표면에 거친 다음에

377
00:23:53.743 --> 00:23:56.523
그 다음에 우리 눈으로 들어오는 과정을 거치게 되는데

378
00:23:56.900 --> 00:24:01.460
우리가 이 빛이 비치는 그 양이

379
00:24:01.923 --> 00:24:07.823
표면이 향하는 방향에 직각일수록 그 양이 가장 많아집니다

380
00:24:08.479 --> 00:24:10.302
들어오는 빛이 많아진다는 거죠

381
00:24:10.895 --> 00:24:15.834
그리고 이게 점점 빛과 표면방향이

382
00:24:17.459 --> 00:24:19.719
사잇각이 크면 커질수록

383
00:24:19.720 --> 00:24:23.595
점점 들어오는 빛의 양이 이제 줄어드는 형태를 가지는데

384
00:24:23.595 --> 00:24:25.559
그 줄어드는 형태가 바로

385
00:24:25.559 --> 00:24:32.458
코사인 세타와 비례해서 줄어든다는 것이 렘버트 코사인 법칙 이라는

386
00:24:32.458 --> 00:24:37.998
표면 방향과 광원의 사잇값에 따라서 음영이 결정되는

387
00:24:37.998 --> 00:24:39.315
아주 단순한 공식이기 때문에

388
00:24:39.315 --> 00:24:42.541
이것은 내적을 사용해서 쉽게 구할 수가 있습니다

389
00:24:42.542 --> 00:24:44.541
그래서 표면의 방향 벡터와

390
00:24:44.541 --> 00:24:47.591
표면에서 광원으로 향하는 벡터를 구하고

391
00:24:47.940 --> 00:24:53.461
그 다음에 이 광원의 크기를 1로 정교화 시켜준 다음 내적을 시켜주면

392
00:24:53.461 --> 00:24:57.689
이것은 해당 광원이 얼만큼 들어왔는지

393
00:24:57.829 --> 00:25:01.469
명암을 결정해주는 중요한 요소로 작용하게 됩니다

394
00:25:02.349 --> 00:25:05.701
 그래서 표면의 방향 벡터를 N

395
00:25:05.701 --> 00:25:10.328
그 다음에 표면에서 광원으로 향하는 벡터를 L 이라고 보통 표현해가지고

396
00:25:10.328 --> 00:25:12.581
N.L이라고 많이 불리는데요

397
00:25:12.870 --> 00:25:17.020
이 N.L로 명암을 만드는 아주 기본적인 공식이

398
00:25:17.021 --> 00:25:20.996
렘버트 코사인 법칙을 사용해서 만드는 것을

399
00:25:20.997 --> 00:25:23.077
디퓨저 쉐이더라고 보통 이야기합니다

400
00:25:23.077 --> 00:25:27.621
그래서 이건 유니티 엔진에서 사용하는 예제에서 가져왔는데요

401
00:25:27.622 --> 00:25:30.728
디퓨저 쉐이더라는 것이 지금 제가 설명드린

402
00:25:30.728 --> 00:25:33.394
내적만을 사용해서 명암을 표현할 때

403
00:25:33.734 --> 00:25:39.516
이러한 음영을 우리가 지정해 가지고 그릴 수 있다라는 것을

404
00:25:39.516 --> 00:25:40.821
이해하시면 되겠습니다

405
00:25:40.821 --> 00:25:45.993
그래서 이러한 렘버트 코사인 법칙의 N.L은

406
00:25:46.353 --> 00:25:48.463
조명은 아주 기본적인 조명이고

407
00:25:48.463 --> 00:25:51.100
여기서 이것을 기반으로 해가지고

408
00:25:51.101 --> 00:25:56.518
복잡한 형태의 조명식으로 발전을 하게 되는데요

409
00:25:57.359 --> 00:26:01.920
어쨌든 가장 밑바닥에서는 이 N.L이 자리 잡고 있다 정도만

410
00:26:01.920 --> 00:26:04.182
여러분들이 이해해 주시면 될 것 같습니다

411
00:26:04.920 --> 00:26:08.301
마지막으로는 투영 벡터 공식에 대해서 설명 드릴 텐데요

412
00:26:08.501 --> 00:26:11.181
이것은 어떤 벡터에다가

413
00:26:11.182 --> 00:26:12.562
두 개의 벡터가 있을 때

414
00:26:12.562 --> 00:26:14.679
하나의 벡터에 내가 투영을 했을 때

415
00:26:14.679 --> 00:26:17.424
 파악하는 공식이라고 할 수가 있습니다

416
00:26:17.844 --> 00:26:20.285
여기 벡터 u와 v 가 있을때

417
00:26:20.960 --> 00:26:24.279
여기서 투영한 벡터 u 를 v 에다가 투영하게 되면

418
00:26:24.496 --> 00:26:26.875
v 프라임이라고 제가 이야기하겠습니다

419
00:26:26.875 --> 00:26:32.064
이 v 프라임이라고 하는 것은 결국에는 v에 투영했기 때문에

420
00:26:32.384 --> 00:26:34.486
v와 방향이 동일합니다

421
00:26:34.486 --> 00:26:35.663
크기만 다르겠죠

422
00:26:36.175 --> 00:26:38.355
크기만 다르고 방향만 갖게 되겠죠

423
00:26:38.923 --> 00:26:42.933
그렇다면은 이 벡터 v 프라임을 어떻게 구하냐면

424
00:26:42.934 --> 00:26:45.325
방향이 같고 크기만 다르기 때문에

425
00:26:45.325 --> 00:26:49.155
일단은 v 를 정교화 시켜줍니다

426
00:26:49.155 --> 00:26:52.315
정교화 시켜줘가지고 이렇게 v hat을 만들어줍니다

427
00:26:52.315 --> 00:26:55.291
크기가 1인 단위 벡터 v hat을 만들어주고

428
00:26:55.303 --> 00:27:01.105
그 다음에 v 프라임이 가지고 있는 벡터의 크기만큼 여기다 곱해 주면

429
00:27:01.105 --> 00:27:03.971
v 프라임을 우리가 구할 수가 있겠죠

430
00:27:04.904 --> 00:27:09.225
그런데 이 v 프라임의 크기를 어떻게 구하냐

431
00:27:09.485 --> 00:27:12.316
얘가 가지고 있는 노름을 어떻게 구하냐라고

432
00:27:12.864 --> 00:27:14.205
이제 그게 관건인데

433
00:27:14.205 --> 00:27:17.185
그것은 우리가 벡터 u 를 알고 있기 때문에

434
00:27:17.730 --> 00:27:26.089
벡터 u 가 가지고 있는 크기에다가 코사인 세타를 곱해 주면

435
00:27:26.089 --> 00:27:28.703
바로 v 프라임의 크기를 구할 수가 있습니다

436
00:27:29.123 --> 00:27:35.963
자 그렇다면 그 값의 코사인 세타를 어떻게 구할 수 있냐로 귀결할 수가 있는데

437
00:27:36.163 --> 00:27:41.463
앞서서도 코사인 세타의 값을 우리가 내적으로 구할 수가 있다고 했죠

438
00:27:41.823 --> 00:27:45.025
그렇기 때문에 내적의 식을 다시 봤을 때

439
00:27:45.026 --> 00:27:50.128
u와 v 를 내적한 것은 u의 크기와 v의 크기를 곱하고

440
00:27:50.129 --> 00:27:51.642
코사인 세타를 곱한 것이 되고

441
00:27:51.998 --> 00:27:54.066
결국에 그 사잇각 코사인 세타는

442
00:27:54.066 --> 00:27:57.465
이런 식으로 우리가 바꿔서 계산할 수가 있다는

443
00:27:57.466 --> 00:27:58.714
결론이 나오게 됩니다

444
00:27:59.264 --> 00:28:03.405
자 그러면 이 값을 우리가 다시 여기에 대입해서

445
00:28:05.721 --> 00:28:06.721
서로 곱해 주면

446
00:28:07.684 --> 00:28:10.465
투영 벡터의 최종식을 구할 수가 있는데요

447
00:28:10.465 --> 00:28:11.415
v 프라임

448
00:28:11.706 --> 00:28:13.826
최종 투영 벡터를 구할 수가 있는데요

449
00:28:14.364 --> 00:28:19.025
여기서 u.v 에다가

450
00:28:19.495 --> 00:28:23.194
분모는 u의 크기와 v의 크기가 되는데

451
00:28:24.444 --> 00:28:28.125
여기서 v hat은 분모가 v고

452
00:28:28.125 --> 00:28:29.537
그 다음에 위에가 v 였죠

453
00:28:29.751 --> 00:28:34.290
그렇기 때문에 v의 크기를 두 번 사용했기 때문에

454
00:28:34.291 --> 00:28:36.503
v의 노름의 제곱이 되는 것이구요

455
00:28:36.503 --> 00:28:39.224
u.v.v가 된다고 볼 수가 있고

456
00:28:39.651 --> 00:28:42.290
그 다음에 앞서서 u를 우리가 곱하기 때문에

457
00:28:42.870 --> 00:28:44.910
분모에 있는 u가 서로 상쇄가 되겠죠

458
00:28:44.910 --> 00:28:46.644
그래서 최종 공식이 이렇게 나오고

459
00:28:46.975 --> 00:28:48.935
노름의 제곱이라는 것은

460
00:28:48.936 --> 00:28:51.893
같은 벡터를 두 번 곱한 결과와 동일하다고 할 수 있으니까

461
00:28:51.893 --> 00:28:53.864
이렇게도 표시할 수가 있습니다

462
00:28:53.864 --> 00:28:56.069
둘은 이제 같은 식이라고 보시면 되고요

463
00:28:56.604 --> 00:29:00.961
여기에서 만약에 내가 투영하려는 벡터 v의 크기가 1이라면

464
00:29:00.962 --> 00:29:03.122
굳이 크기를 구할 필요가 없기 때문에

465
00:29:03.397 --> 00:29:06.677
위 식은 조금 더 단순하게 구할 수가 있습니다

466
00:29:07.203 --> 00:29:11.505
자 그럼 이런 투영 벡터의 공식은

467
00:29:11.835 --> 00:29:16.515
우리가 앞으로 진행할 다양한 벡터의 응용 과정이나

468
00:29:16.515 --> 00:29:20.903
아니면 여러가지 평면의 방정식 이라든지

469
00:29:20.903 --> 00:29:22.903
이론에서 중요하게 사용이 되는데요

470
00:29:23.503 --> 00:29:29.225
우선은 이렇게 기본적인 공식이 있다 정도만 설명을 드리고

471
00:29:29.226 --> 00:29:33.486
응용 방법에 대해선 나중에 평면의 방정식을 다룰 때

472
00:29:33.486 --> 00:29:35.856
보다 자세하게 설명드리도록 하겠습니다

473
00:29:36.518 --> 00:29:39.125
자 지금까지 벡터 내적에 대해서 알아봤습니다

474
00:29:39.225 --> 00:29:41.305
이번 강의는 여기까지 입니다

475
00:29:41.305 --> 00:29:43.152
수업 듣느라 고생하셨습니다

476
00:29:43.153 --> 00:29:44.113
감사합니다

477
00:29:44.532 --> 00:29:45.832
벡터 내적의 개념
벡터의 내적
벡터의 각 요소끼리 곱한 후 더하는 형태의 연산

478
00:29:45.833 --> 00:29:46.833
벡터 내적의 성질 
교환 법칙을 만족함 결합 법칙을 만족하지 않음 분배 법칙을 만족함
a,b곱하기c,d는 ac더하기bd

479
00:29:46.834 --> 00:29:47.834
n차원의 같은 벡터를 내적 하면 노름의 제곱이 됨

480
00:29:47.835 --> 00:29:49.503
벡터 내적의 코사인 공식
a 곱하기 b는 벡터 a 벡터 b 코사인세타
두 벡터의 크기가 1일때 스칼라 a곱하기 스칼라 b는 코사인 세타

481
00:29:49.503 --> 00:29:50.983
벡터 내적의 개념
벡터 내적의 직교성 판별
두 벡터가 직교한다는 것을 내적으로 증명할 수 있음

482
00:29:50.983 --> 00:29:51.845
코사인 세타,사인 세타 곱하기 마이너스 사인 세타,코사인 세타는 0

483
00:29:51.845 --> 00:29:52.985
리지드 트랜스포메이션
물체의 형태를 그대로 유지하는 변환
회전 변환은 물체의 형태를 변형시키지 않음

484
00:29:52.985 --> 00:29:54.485
조건
공간을 구성하는 모든 기저 벡터의 크기가 1
모든 기저 벡터가 서로 직교하고 있어야 함
선형 변환의 행렬식 값이 1

485
00:29:54.485 --> 00:29:55.426
백터 내적의 활용
앞뒤 판별
두 벡터를 내적 한 결괏값이 양수일 때 물체는 시선 앞에 위치함

486
00:29:55.427 --> 00:29:56.647
두 벡터를 내적 한 결괏값이 음수일 때 물체는 시선 뒤에 위치함

487
00:29:56.647 --> 00:29:57.668
시야 판별
시선 벡터와 목표물로 향하는 벡터의 내적은 코사인 알파
코사인 알파의 값이 코사인 2분의 베타보다 큰 값이라면 목표물은 시야 내에 있음

488
00:29:57.668 --> 00:29:58.589
음영 계산
램버트 코사인 법칙 물체 표면이 반사하는 빛의 휘도는 표면 방향과 광원 방향의
사잇각의 코사인 값에 비례함

489
00:29:58.589 --> 00:29:59.451
셰이더 조명 공식 N.L
공간 표면의 방향 벡터 N
표면에서 광원으로 향하는 벡터 L

490
00:29:59.451 --> 00:30:02.522
투영 벡터 공식
하나의 벡터를 다른 벡터에 투영시킨 벡터를 구하는 식
v`는 벡터 v제곱분의 u곱하기 v곱하기 v는 v곱하기 v분의
u곱하기 v곱하기v

491
00:30:02.522 --> 00:30:04.263
투영하려는 벡터의 크기가 1일때 v`는 u곱하기 v곱하기 v