유클리드 기하학
논리와 문제해결
디지털 콘텐츠 창작자를 위한 유클리드식 기하학 논리적 사고법 4 아이디어를 찾는 유클리드식 사고법 2 나누어 생각하기
안녕하세요 박종하입니다
이번 시간에는 우리가 많이 활용하는 대표적인 생각 기술인
분석에 대해 살펴보겠습니다
내가 잘 모르는 것을 내가 익숙하게 잘 아는 것으로 나눠서 생각하는 것을
분석이라고 합니다
복잡하고 어려운 문제를 내가 이해하고 쉽게 다룰 수 있는
작은 문제로 나누고 생각하는 거죠
똑똑한 사람은 복잡하고 어려운 것을 잘 처리하는 사람이 아니라
복잡하고 어려운 것을 단순하고 쉬운 것으로 잘 나눠서 처리하는 사람입니다
디지털 콘텐츠를 만드신 여러분들에게도 매우 익숙한 방법일 텐데요
유클리드 기하학 문제를 풀어보면서 분석에 대해 학습해 오겠습니다
나누어 단순하게 하기
많은 문제들이 단지 나누는 것만으로서도 쉽게 해결되고 납니다
유클리드 기하학 문제도 그런 경우가 많은데요
문제에 접근할 때는 일단
이해하기 쉬운 것으로 적당하게 나눠 보세요
나눌 때는 단순하게 나누는 것이 좋습니다
가로 세로 선을 긋는 것처럼요
문제를 보면서 한 번 이해해 보시죠
문제 1 다음 그림에서 색칠한 부분의 넓이는 얼마일까요
문제를 파악하기 위해 다음과 같이 보조선을 한번 그어보겠습니다
삼각형의 넓이는 밑변과 높이의 곱에 2분의 1을 곱한 것이기 때문에
밑변과 높이가 같은 삼각형은 넓이가 같습니다
따라서 나눠서 생긴 8개의 삼각형은
넓이가 같은 삼각형이 두 쌍식으로 생각할 수 있는 거죠
문제의 조건에서 다음과 같은 관계를 파악할 수 있는 거죠
a 더하기 d 더하기 b 더하기 c는
7 더하기 5
12
또한 c 더하기 d는 8입니다
따라서 다음과 같이 우리가 원하는
a 더하기 b의 값을 구할 수 있습니다
c 더하기 8을 앞에 식에 넣어 보면은
a 더하기 b는 4
문제 2 다음과 같이 사각형을 4개의 삼각형으로 나눴을 때
각각의 넓이가 9, 12, 23, x 라고 합니다
x의 값을 구하세요
이 문제는 삼각형을 나누며 관계식을 세워서
계산을 해야 할 것 같은데요
계산을 하기 전에 일단 이렇게 한번 생각해 볼까요
먼저 다음과 같이 선을 그어서
사각형을 4개의 부분으로 나눠서 생각하면
넓이가 9, 23인 두 삼각형의 넓이는
전체 사각형 넓이를 정확하게 반으로 나눕니다
마찬가지로 넓이가 12x인 두 삼각형의 넓이의 합은
전체 사각형 넓이의 2분의 1인 거죠
눈에 들어오십니까
따라서 9 더하기 23은 12 더하기 x
x는 20입니다
이 문제를 통하여 우리는 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다
사각형의 내부를 4개의 삼각형으로 다음과 같이 나눌 때
삼각형 A,B,C,D의 넓이는 다음과 같은 관계를 갖는다는 겁니다
A더하기 B는 C더하기 D는
삼각형 넓이의 2분의 1
이런 관계를 공식화해서 단순 암기하는 것은 올바른 방법이 아니죠
관련된 내용을 충분히 이해하고
이런 상황이 문제로 제시되면
쉽게 적용해서 문제를 풀 수 있도록 하는 것이 필요합니다
이렇게 사소한 것까지 외우려고 하다보면요
외울 것이 너무 많아서 머리가 폭발할지도 모릅니다
암기보다는 이해하고 적용해야
문제를 더 효과적으로 해결할 수 있습니다
복잡한 문제를 잘 해결하는 사람은
복잡한 것을 잘 다루는 능력이 있는 것이 아니라
그들의 능력은 주로
복잡한 문제를 단순한 여러 개의 문제로 나누는 것에서 발휘됩니다
작은 것으로 나누고 단순하게 표현하는 것은
문제를 해결하는 매우 효과적인 방법인 거죠
문제를 통해서 한번 확인해 보겠습니다
문제 3. 다음 그림에서 AC는 6, BC는 6일 때
색칠한 부분의 넓이를 구하세요
색칠한 부분의 넓이를 구하기 위해
다음과 같이 한 번 나눠서 생각해 볼까요
이렇게 나눠 보면 전체는 4개의 삼각형으로 생각할 수 있습니다
여기서 삼각형 ACD만을 생각해 보면
삼각형 ACD는 작은 삼각형 AEF, ECF ,CDF
세 개의 삼각형이 있는 거죠
이 중 ECF와 CDF는 대칭이기 때문에
합동이고 넓이가 같습니다
삼각형 AEF와 ECF는 높이가 같은데
밑변이 2와 4
1대 2입니다
따라서 삼각형 AEF와 ECF의 넓이의 비는 1대 2죠
결론적으로 큰 삼각형 ACD 안에 있는 작은 삼각형
AEF, ECF CDF 세 개의 넓이의 비는
1대 2대 2입니다
ACD의 넓이가 4 곱하기 6 곱하기 2분의 1
12이죠
그렇기 때문에 AEF, ECF CDF의 넓이는
5분의 12, 5분의 24, 5분의 24
이렇게 결정됩니다
따라서 우리가 구하는 색칠한 부분인 ECF 더하기 CDF의 넓이는
5분의 24, 5분의 24
5분의 48이 답입니다
문제를 하나 계속 풀어 보겠습니다
문제 4 다음 색칠한 부분의 넓이를 구하세요
이 문제도 같은 방법으로 접근해 보기 위해서
다음과 같이 색칠한 부분을 두 부분으로 나눠서 생각해 보겠습니다
큰 삼각형의 가로선을 기준으로 보면
밑변이 6, 3인 두 삼각형은 같은 높이를 갖기 때문에
넓이의 비가 2대 1입니다
따라서 넓이를 2A ,A라고 써보죠
같은 생각으로 큰 삼각형의 세로선을 기준으로
두 삼각형의 밑변이 4, 8이기 때문에
넓이의 비가 1대 2입니다
이 넓이를 B,2B
이렇게 써보겠습니다
구체적으로 넓이를 표시해 보면
B더하기 2B 더하기 2A의 넓이는
6 곱하기 12 곱하기 2분의 1
36이고
2B더하기 2A더하기 A의 넓이는
8 곱하기 9 곱하기 2분의 1
36입니다
이것을 식으로 표현하면 다음과 같습니다
2A 더하기 3B는 36
3A 더하기 2B는 36
결론적으로 5A 더하기 5B는 72고
A더하기 B는 5분의 72입니다
우리가 구하는 색칠한 부분의 넓이는
2A 더하기 2B이기 때문에
5분의 144가 답입니다
분석도구
우리가 이번 시간에 다루는 문제들은
단순한 도형인 삼각형, 사각형에 관한 것들입니다
삼각형, 사각형에 관한 자신이 알고 있는 것을
한 번 정리해 보는 것도 문제 해결에 도움이 될 것 같습니다
삼각형의 넓이에 관한 것을 자주 적용하게 되는데요
삼각형의 넓이는 다음과 같이
밑변과 높이가 같으면 넓이가 같다는 것을 활용하면
효과적으로 활용할 수 있습니다
자주 사용하는 것을 도구라는 단어로 표현하는데
넓이에 관한 문제를 풀 때는
삼각형의 넓이에 관한 다음과 같은 정리가
유용하게 활용되는 분석 도구라고 생각하면 좋습니다
문제를 풀면서 또 살펴보겠습니다
문제 5 다음 그림에서 A부분의 넓이에서
B부분의 넓이를 뺀 넓이를 구하세요
이 문제를 풀기 전에 이런 생각을 한번 해볼까요
먼저 다음 그림을 한번 보시죠
삼각형 ABC와 삼각형 ABD는
밑변이 같고 높이가 같기 때문에
넓이가 같습니다
그런데 동그라미 친 부분은 두 삼각형의 공동 부분입니다
따라서 S 영역과 S'의 영역은 넓이가 같습니다
이러한 관계는 삼각형의 넓이에 관한 내용에서
자주 활용하게 되는 내용인데
경험을 통해 얻게 되는 센스와 같은 거죠
문제 해결의 경험을 통해서 이런 센스를 많이 갖게 되는 것이
현명한 사람이 되는 방법입니다
이제 문제 5에 이것을 한번 적용해 보겠습니다
주어진 문제에서 다음과 같이 선을 한 번 그어 보면
B와 A1의 넓이가 같습니다
왜냐하면 B와 A1은
밑변과 높이가 같은 두 삼각형에서 공통 부분을 뺀 부분이죠
따라서 넓이가 같다고 생각할 수 있습니다
A 부분의 넓이에서 B부분의 넓이를 뺀 것은
밑변이 6이고 높이가 2인 삼각형만큼 남는 겁니다
즉 2 곱하기 6 곱하기 2분의 1
6입니다
문제 6, 사각형 ABCD가 다음과 같이 주어졌을 때
빗금친 부분의 넓이를 구하세요
직사각형의 넓이는 가로, 세로의 곱이죠
하지만 불규칙한 사각형의 넓이는 쉽게 구할 수가 없습니다
특별한 사각형을 생각해 보면
평행사변형과 사다리꼴을 생각할 수 있는데요
평행사변형과 사다리골의 넓이는 다음과 같이 계산합니다
이것은 평행사변형과 사다리골을 삼각형으로 나눠서 생각하면
쉽게 이해할 수 있습니다
문제 6을 풀어 보면 사각형 ABCD의 넓이는
다음과 같이 구할 수 있습니다
2분의 1 곱하기 2 더하기 5 곱하기 4
14입니다
이 문제를 푸는 전략은 문제에서 주어진 도형을
다음과 같이 나누어서 전체에서 s1, s2, s3, s4의 넓이를 빼는 것으로
색칠한 부분의 넓이를 구해보겠습니다
먼저 선분 AB를 중심으로
다음과 같은 삼각형 ABE을 생각해 보시죠
삼각형 ABE의 넓이는
전체 사각형 ABCD에서
삼각형 ADE와 삼각형 BCE의 넓이를 빼는 방법으로 구할 수 있습니다
따라서 삼각형 ABE의 넓이는
14에서 2분의 6 더하기 2분의 5를 뺀 값
2분의 17입니다
삼각형 BEG가 삼각형 ABE에서 차지하는 넓이의 비율은
5분의 2죠
따라서 삼각형 BEG의 넓이는 2분의 17 곱하기 5분의 2
5분의 17입니다
이번에는 선분AB를 중심으로
다음과 같이 삼각형 ABF를 생각해 보겠습니다
삼각형 ABF의 넓이는 전체 사각형 ABCD에서
삼각형 ADF와 삼각형BCF의 넓이를 빼는 방법으로 구할 수 있습니다
따라서 삼각형ABF의 넓이는
14에서 2 더하기 5를 뺀 7입니다
삼각형 AFH가 삼각형 ABF에서 차지하는 넓이의 비율은 5분의 1이죠
따라서 삼각형 AFH의 넓이는 5분의 7입니다
우리가 알고 있는 넓이에 관한 정보를
주어진 도형에 써보면 다음과 같습니다
따라서 우리가 구하는 빗금친 부분의 넓이는
14에서 2 더하기 5분의 7 더하기 5분의 17 더하기 2분의 5를 뺀
10분의 47입니다
이 문제는 매우 어려운 문제였죠
쉽게 푸는 사람이 별로 없었을 겁니다
이 문제가 어려운 이유는 어려운 개념이나 지식이 필요해서가 아닙니다
복잡한 문제를 단순한 형태로 단계 단계 생각해야 하는 문제였기 때문입니다
그런 경험이 많지 않은 사람들한테는 어렵게 느껴지는 거죠
복잡한 문제는 단순한 형태로 나눠서 접근하는 것이 필요하다는 것을
다시 한 번 기억하시면 좋겠습니다
지식보다는 문제 해결에 아이디어가 필요한 문제를 하나 더 살펴보겠습니다
문제 7 다음 그림에서 사각형 안에 있는 숫자는 넓이를 의미합니다
색칠한 부분의 넓이를 구하세요
먼저 넓이가 43인 사각형을
넓이가 21 더하기 22는 43
이렇게 한 번 나눠서 생각해 보겠습니다
가장 왼쪽에도 넓이가 21인 사각형이 있으므로
우리는 다음과 같은 길이를 생각할 수 있죠
이제 아래쪽에 사각형을 보면
넓이가 4 곱하기 10은 40인 사각형을 생각할 수가 있고
그 사각형의 오른쪽 사각형의 넓이는
40 빼기 29
11입니다
넓이가 11인 사각형과 22인 사각형을 비교해 보면
왼쪽 사각형의 한 변의 길이가 8임을 알 수 있습니다
따라서 왼쪽에 있는 사각형의 넓이는 80이고
색칠한 부분의 넓이는 80에서 21 더하기 22를 뺀
37이 답입니다
정답률이 매우 낮은 문제를 소개했습니다
이 문제 정답률이 낮은 이유는
이 문제가 깊은 지식이나 개념을 갖고 있어야 푸는 문제여서가 아닙니다
어쩌면 초등학생도 쉽게 답을 낼 수 있는 문제인데
다양하게 문제에 접근하는 문제 해결의 경험이 필요했던 문제였기 때문입니다
수학 문제는 공식에 의존하기보다는 자유롭게 생각하면서 접근하는 게 필요합니다
문제 해결 경험이 필요한데 그런 문제 해결 경험을 다양하게 많이 해보는 것이
중요한 열쇠가 될 것 같습니다
이것은 디지털 콘텐츠 창작자인 여러분한테도 마찬가지로 적용되는 것이죠
지식을 더 많이 갖고 있다고 해서 더 좋은 콘텐츠를 생산하는 것은 아니죠
지식보다는 다양한 경험과
그 경험에서 자신한테 필요한 인사이트를 뽑아내는 것이 필요할 것 같습니다
복잡한 상황에서 오늘 경험한 분석을 활용해보시면 좋겠습니다
큰 덩어리의 문제는 처리하기 쉬운 작은 것으로 나눠보세요
똑똑한 사람들의 능력은 대부분
복잡한 문제를 단순한 여러 개의 문제로 나누는 것에서 시작된다는 사실을 기억하시고
이것을 여러분의 문제에 현명하게 적용해보시길 바랍니다
나누어 단순하게 하기 내용을 충분히 이해하고 쉽게 적용하여 문제를 풀 수 있도록 하는 과정이 필요함
암기보다는 이해하고 적용해야 문제를 더 효과적으로 해결할 수 있음 작은것으로 나누고,단순하게 표현하는 곳은 문제를 해결하는 효과적인 방법이 됨
분석도구 문제를 풀기 전,자신이알고 있는 것을 한 번 정리해보는 것도 문제 해결에 도움이 됨
도형과 관련된 공식은 경험을 통해 얻게 되며,문제 해결의 경험을 통해 풀이 속 센스를 얻을 수 있음
자주 사용하는 내용을 도구라는 단어로 표현하며,분석 도구는 문제를 풀때 유용하게 활용됨 수학 문제는 공식에 의존하기보다 자유롭게 생각하며 접근해야 함
다양하게 문제에 접근하는 문제 해결의 경험을 통해 자신에게 필요한 인사이트를 얻을 수 있음