유클리드 기하학
논리와 문제 해결
디지털 콘텐츠 창작자를 위한 유클리드식 논리적 사고법 6 정답의 틀을 깨는 문제해결의 기술 1
안녕하세요 박종하입니다
이번 시간에는 정보를 수집한다, 다양하게 상상한다는 내용의
문제 해결의 기술을 소개해드리겠습니다
이런 상황에서 이런 문제 해결의 기술을 적용하세요
같은 단편적인 이야기는
하기가 좀 어렵기도 하고 쓸데없는 경우도 많죠
우리가 겪는 문제 상황이라는 것이
지금 배우는 수학 문제처럼 한 눈에 딱 들어오는 것도 아니니까요
하지만 평소에 이런 것이 필요하다고 생각하는 것은 매우 중요한 것 같습니다
그런 의미로 이번 시간에는 충분한 정보를 수집하는 것이 필요하다
다양하게 여러 가지 경우를 생각해야 한다는 것을
기억하시면 좋을 것 같습니다
특히 새로운 기술과 서비스들이
매일매일 발생하는 디지털 콘텐츠 시장에서는
새로운 정보 수집에 항상 주의를 기울여야 합니다
주어진 정보를 필요한 정보로 바꾸기
문제를 풀 때는 필요한 정보를 모두 수집하는 것이 중요한데요
정보가 많으면 많을수록 문제 해결에
더 쉽고 빠르게 접근할 수 있기 때문이죠
정보가 부족하면 아무리 아이디어를 쥐어짜도
문제를 해결하지 못하곤 합니다
그래서 문제 해결에 활용될 것 같은 정보를 표시해가면서
문제 풀에 접근하는 것이 효과적인 방법입니다
예를 들어 이런 질문을 한번 보시죠
다음 그림에서 RT와 TU가 같을 때
각 x의 크기는 얼마일까요?
RT는 TU라는 문제의 조건에서
삼각형 RTU는 이등변삼각형입니다
180도-106도는 74도이므로
이등변삼각형의 나머지 두 각의 크기는 각각 37도인 겁니다
이것을 문제에 적어 보겠습니다
이렇게 문제의 각도를 적어 놓고 보면
삼각형 SVU에서 각 x는 외각정리에 의해서
x는 32도 더하기 37도
69도라는 것을 쉽게 알 수 있죠
수학문제는 눈으로 푸는 것이 아니라 손으로 푸는 겁니다
손으로 움직여서 가장 먼저 해야 할 것은
필요한 정보를 표시해 보는 겁니다
이렇게 문제 해결에 필요한 정보는 표시하다 보면
내가 표시한 정보가 눈으로 보이면서
머리가 움직이면서
문제 해결에 필요한 아이디어가 떠오르기도 하는
그런 경험을 자주 하게 됩니다
디지털 콘텐츠를 다루시는 여러분들한테도
아날로그처럼 연습장에 손으로 한 번
볼펜을 잡고 자신의 생각을 다양하게 표현해 보시기를 권합니다
종이에 손으로 뭔가를 써보는 것이 아이디어를 주는 경우가 많으니까
그렇게 한 번 꼭 해보시면 좋겠습니다
수학문제 하나 더 풀어보시죠
문제 1 다음과 같이 주어진 삼각형의 넓이를 구하세요
우리가 알 수 있는 정보들을 조금 더 채우면 다음과 같습니다
먼저 삼각형의 내각의 합이 180도라는 사실에서
우리는 주어진 삼각형이 이등변삼각형이라는 것을 알 수 있습니다
따라서 삼각형의 두 변의 길이는 5입니다
또 길이가 3대 4대 5인 직각삼각형을 생각하면
밑변이 5라고 하면
삼각형의 높이는 3이라는 것을 알 수 있죠
따라서 삼각형의 넓이는 5 곱하기 3 곱하기 1분의 1
2분의 15입니다
모로 가도 서울만 가면 된다 라는 말이 있습니다
어떻게 해서든 문제를 풀기만 하면 된다고 생각할 수도 있는데요
복잡하고 어려운 문제를 푸는 것보다는
이왕이면 쉽고 단순하게 문제를 푸는 것이 좋겠죠
그래야 계산 실수도 줄이고 빠르게 문제를 풀 수 있으니까요
쉽고 단순하게 문제 해결의 과정을 진행하기 위해서는
주어진 정보를 효과적으로 사용해야 합니다
그렇게 하기 위해서는 필요한 정보를 파악하는 것이 중요한데요
필요한 정보를 파악하는 것을 문제를 통해서 한번 살펴보겠습니다
문제 2 다음과 같이 주어졌을 때 색칠한 직각삼각형의 넓이를 계산하세요
이 문제를 학교에서 피타고라스의 정리를 배운 학생들은
큰 직각삼각형의 빗변의 길이를 계산하는 등
일단 복잡한 계산을 시작할 것 같습니다
하지만 무턱대고 계산만 하는 것이
좋은 결과를 가져오는 것이 아니라고 말씀드렸죠
일단 계산을 하기 전에 길이의 비를 한번 살펴보시죠
자연수로 이루어진 가장 단순한 직각삼각형의 길이의 비는
3대 4대 5입니다
그래서 3대 4대 5의 비율을 갖는 삼각형은
모두 직각삼각형이 되죠
주어진 큰 직각삼각형도 두 변의 길이가 9와 12인데요
이것은 9대 12는 3대 4인 겁니다
따라서 빗변은 피타고라스의 정리를 적용하여 계산하지 않아도
9대 12대 15라는 것을 알 수 있죠
이제 문제를 풀어보면
먼저 큰 직각삼각형의 빗변의 길이는
9대 12대 15이므로
15라는 것을 알 수 있고요
이것을 문제에 써보면
작은 직각삼각형의 빗변의 길이가 10이라는 것을 알 수 있습니다
작은 직각삼각형의 두 변의 길이를 a, b라고 하면
작은 직각삼각형도 3대 4대 5의 비율을 갖는 직각삼각형이 되기 때문에
a대 b대 10은 6대 8대 10입니다
따라서 작은 직각삼각형의 넓이는 이렇게 계산할 수 있겠죠
2분의 1 곱하기 a 곱하기 b는
2분의 1 곱하기 6 곱하기 8
24가 답입니다
문제 3 다음과 같이 정팔각형에 주어진 각 x의 크기를 구하세요
이 문제를 두 가지 방법으로 한 번 접근해 보겠습니다
첫 번째 방법은 아이디어를 생각하지 않고 주어진 각들을 파악하는 겁니다
먼저 정팔각형의 내각의 크기를 한 번 생각해 보겠습니다
정팔각형의 내부에는
다음과 같이 6개의 삼각형을 생각할 수 있습니다
따라서 정팔각형의 내각의 합은 180도 곱하기 6
1080입니다
정팔각형의 8개의 내각의 크기는 같기 때문에
주어진 문제의 각의 크기에 관한 정보를 표시해 보면
지금 보시는 것처럼 각의 값들을 다 표시할 수 있죠
4개의 각이 사각형을 만든다면
45도 더하기 225도 더하기 45도 더하기 x가 360도인 겁니다
따라서 x는 45도이죠
이 문제를 아이디어를 갖고 한 번 접근해 보겠습니다
다음과 같은 삼각형을 한번 생각해 볼까요
이렇게 각 x를 포함하는 삼각형을 생각하면
x를 제외한 나머지 두 각은 모두
정팔각형의 내각을 반으로 나눈 각인 것을 알 수 있습니다
원의 중심을 생각하듯이
정팔각형의 중심을 그림처럼 생각할 수 있기 때문이죠
따라서 우리가 그린 삼각형에서 x를 제외한 나머지 두 각은
정팔각형의 내각인 135도를 반으로 나눈 각들입니다
따라서 두 각의 합은 135도이고
x는 180도 빼기 135도
45도가 답입니다
더 넓은 부분 생각하기
유클리드 기하학의 매력 중 하나는
문제에 바로 드러나 있지 않은 것을 상상하면서 문제를 풀어가는 겁니다
우리한테 주어지는 문제는
전체적인 상황의 일부분인 경우가 많죠
그래서 연장선이나 보조선을 그어보면서
상황을 조금 더 넓혀보는 것만으로서도
문제 해결의 아이디어가 얻어지는 경우가 많습니다
없는 선을 그어보고
때로는 문제 속의 도형을 복사하듯이 그려서
옆으로 한 번 옮겨보고
이렇게 능동적이고 적극적인 접근이 문제 해결의 아이디어를 주곤 하죠
문제를 풀면서 관련된 내용을 살펴보겠습니다
문제 4 다음과 같이 주어진 오각형 ABCDE의 넓이를 구하세요
오각형의 내각의 합은 540도입니다
180도 곱하기 3인 거죠
따라서 각E의 값을 구해보면
540도에서 90도 곱하기 3 더하기 135도를 뺀
135도입니다
또한 180도 빼기 135도는 45도죠
이 관계를 파악해보면 우리는 다음과 같이
두 개의 직각 이등변삼각형을 생각할 수 있습니다
직각 이등변삼각형의 두 변의 길이가 같기 때문에
다음과 같은 정보를 파악할 수 있는데요
큰 삼각형 FGD 역시 직각이등변삼각형입니다
한 변의 길이가 14이므로
큰 직각 이등변삼각형의 넓이는
14 곱하기 14 곱하기 2분의 1
98이고
작은 두 개의 이등변삼각형의 넓이는
4 곱하기 4 곱하기 2분의 1
8
6 곱하기 6 곱하기 2분의 1
18입니다
따라서 우리가 구하는 오각형의 넓이는
98 빼기 8, 18
72가 답입니다
한 가지 우리가 주의할 것이 있는데요
그것은 자신의 상상력을 앞세우면서
눈대중으로 논리에 맞지 않는 계산을 하지 말아야 한다는 겁니다
예를 들어 이 문제의 다음과 같이
B와 E를 연결하는 선을 긋고
BCDE가 직각삼각형이라고 생각하면서 문제를 푸는 분도 가끔 계시는데요
이렇게 자기 맘대로 설정하면 논리적으로 맞지 않습니다
이것은 ABE가 직각이등변삼각형이라고 하는 것인데
AB는 AE는 6
그리고 BE는 10이라는 것이죠
이것은 직각이등변삼각형의 각 변의 길이의 비를 생각하면
논리적으로 맞지 않는 겁니다
수학은 내 맘대로의 논리로 문제를 풀어갈 수 없다는 사실을
기억하시기 바랍니다
문제 5 다음 그림에서 각 x의 크기는 얼마일까요?
그림처럼 사각형 BCDE 가 정사각형이 되도록
점 E을 한 번 잡아보겠습니다
그러면 각 ADC가 150도이므로
삼각형ADE에서 각 ADE는 60도이고
변AD와 변 DE의 길이가 같다는 것을 알 수 있습니다
따라서 삼각형 ADE는 정삼각형이고
모든 각의 크기는 60도입니다
삼각형 AED가 정삼각형이기 때문에 AE는 2B이고
삼각형 AEB 는 이등변삼각형이라는 것을 알 수 있죠
따라서 각BAE는 각ABE고
15도입니다
우리가 구하는 각 x의 크기는
60도 빼기 15도
45도가 답입니다
계산하기와 상상이라고 표현해 보면
우리는 계산도 잘하고 상상도 잘해야 하는데요
무작정 빠르게 계산하기에만 집중하고
여유있게 상상하는 과정을 시간 낭비로만 생각한다면
진짜 재미있는 수학을 배우기가 힘든 겁니다
수학 실력도 크게 늘지 않죠
우리의 일상도 마찬가지입니다
빨리빨리 능률 위주로 일을 처리하는 것도 필요하고
주위를 보면서 더 큰 생각을 하고 새로운 것을 상상하는 것도 필요하죠
열심히는 하는데 평균적인 성과를 내는 것에서 크게 벗어나지 못하고 있다면
무작정 더 빨리 하는 계획을 세우기보다는
여유를 갖고 상상하는 시간을 더 늘릴 필요가 있습니다
문제 6 다음과 같이 주어진 사각형 ABCD의 넓이를 구하세요
이 문제를 한 번 풀어보시죠 여러분
어떻게 푸시겠습니까
이 문제를 빠르게 계산하기로 풀 수도 있을 것 같습니다
하지만 우리는 이번 교육과정에서는 계산하는 방법을 많이 배우지 않았기 때문에
상상하기로 이 문제를 풀어보겠습니다
다음과 같이 주어진 도형을 복사해서 한번 붙여볼까요
이렇게 같은 도형 4개를 붙여보시면
한변의 길이가 5인 정사각형이 된다는 것을 파악할 수 있습니다
따라서 정사각형의 넓이는 25이고
우리가 4개의 도형을 붙였기 때문에
우리가 찾는 도형 하나의 넓이는 4분의 25입니다
붙이는 것을 좋아하는 사람이 있고 나누는 것을 좋아하는 사람이 있죠
나누는 것을 좋아하시는 사람은
다음과 같이 선분BD를 그어보세요
그리고 삼각형 ABD를 잘라서
보시는 것처럼 AD는 CD가 되게 붙여보시죠
각 A 더하기 각 C가 180도이기 때문에
DBB`는 삼각형이 되고
B`는 B`D인 직각 이등변삼각형이 되는 것을 알 수 있습니다
우리는 이제 빗변의 길이가 5인
직각 이등변삼각형의 넓이만 구하면 되는 것입니다
직각 이등변삼각형의 넓이는
다음과 같이 같은 것을 4개를 붙이는 것으로 계산할 수 있습니다
우리가 찾는 직각이등변 삼각형 4개를 붙이면
한변의 길이가 5인 정사각형이 만들어지죠
따라서 정사각형의 넓이는 25이고
우리가 찾는 직각 이등변삼각형 하나의 넓이는
4분의 25입니다
즉 우리가 계산하고 싶은 도형의 넓이는 4분의 25인 거죠
어려운 계산을 하지 않아도 다양한 상상력을 발휘하며
논리적으로 하나하나 따져보는 것만으로서도
어려운 문제가 해결되는 것을 봅니다
이런 것이 수학의 재미를 경험하는 거죠
문제 7 다음 그림에서 AB는 6일 때 색칠한 부분의 넓이를 구하세요
이 문제도 계산하기가 아닌 상상하기로 한 번 접근해 보겠습니다
우리는 주어진 도형을 바닥에 까는 타일처럼 한 번 생각해 볼까요
바닥에 까는 타일처럼 생각해 보면
지금 화면에 보시는 것처럼 붙여 볼 수가 있습니다
주어진 도형 4개를 이렇게 붙여 보면
한변의 길이가 6인 정사각형이 만들어지는 것을 볼 수 있습니다
주어진 도형의 넓이는 6 곱하기 6
한변의 길이가 6인 정사각형의 4분의 1
9가 답입니다
이 문제는 또 다른 분석적인 방법으로도 풀 수 있는데요
하나의 문제를 다양하게 풀어보는 것이 좋은 공부가 되기 때문에
또 다른 방법으로 풀어보겠습니다
이 문제에서 색칠한 부분의 넓이는
정사각형과 직각삼각형으로 나눠 생각할 수 있습니다
정사각형 2분의 3 더하기 1
2분의 5개의 넓이로 해석할 수 있죠
따라서 주어진 조건의 정사각형 하나의 넓이를 구하면
그것의 2분의 5를 구하는 방법으로
색칠한 부분의 넓이를 구할 수 있습니다
정사각형 하나의 넓이는 다음과 같이 구할 수 있습니다
색칠한 삼각형의 넓이는 정사각형의 2분의 3입니다
왼쪽 도형을 오른쪽과 같이 붙여보면
한변의 길이가 6인 큰 정사각형이 만들어지는데
정사각형에는 색칠한 삼각형 4개와 정사각형 4개가 있는 거죠
따라서 정사각형 하나의 넓이를 A라고 하면
다음과 같은 식을 세울 수 있습니다
지금 보시는 식을 따라가면 A는 5분의 18이라는 값을 얻을 수 있죠
색칠한 부분의 넓이는
맨 처음에 2분의 5 곱하기 A라고 했죠
A의 값 정사각형 하나의 넓이가 5분의 18이기 때문에
2분의 5A는 2분의 5 곱하기 5분의 18
9가 답입니다
계산하기보다 상상하기로 문제를 해결해 봤는데요
중학교에서 피타고라스의 정리를 배우고
2차 방정식의 풀이도 배우고 나면
많은 문제를 계산하는 방법으로 접근하게 됩니다
그렇게 계산하는 것이 더 쉽게 문제를 해결하기도 하지만
때로는 이러한 계산이 상상을 가로막는다는 것을 경험하게 됩니다
이번 과정은 초등학교 4학년 지식으로
모든 문제를 해결하는 것을 목표로 했기 때문에
계산하기보다는 상상하기로 문제를 해결한 건데요
이것이 디지털 콘텐츠 창작자인 여러분한테도 인사이트를 줄 수 있으면 좋겠습니다
빠르게 답을 내는 것보다는 다양한 상상으로
또 다른 것을 생각할 수 있게 말이죠
주어진 정보를 필요한 정보로 바꾸기 정보가 많으면 많을수록 문제 해결에 더 쉽고 빠르게 접근할 수 있음
문제 해결에 활용될 것 같은 정보를 표시하며 풀이에 접근하는 것이 효과적인 방법임 쉽고 단순하게 문제 해결의 과정을 진행하기 위해서는 주어진 정보를 효과적으로 사용해야 함
더 넓은 부분 상상하기 우리에게 주어지는 문제는 전체적인 상황의 일부분인 경우가 많음
연장선이나 보조선을 그어보며 상황을 조금만 더 넓혀보는 것만으로도 문제해결의 아이디어를 얻을 수 있음 그러나 상상력을 앞세우며 어림잡아 논리에 맞지 않는 계산을 하지 말아야 함
어려운 계산을 하지 않아도 다양한 상상력을 발휘하며 논리적으로 따져볼 때 어려운 문제가 해결되기도 함