유클리드 기하학
논리와 문제해결
디지털 콘텐츠 창작자를 위한 유클리드식 논리적 사고법 5 아이디어를 찾는 유클리드식 사고법 3. 아는 도형 찾기
안녕하세요 박종하입니다
오늘은 문제 해결에서 가장 중요한
연결이라는 키워드를 살펴보겠습니다
여러분 공부라는 것이 무엇일까요
모르는 것을 배우는 거죠
모르는 것을 배운다는 것은요
모르는 것을 내가 이미 알고 있는 것과 연결시켜서
이해하고 기억하는 겁니다
내가 잘 알고 있어서 익숙한 것과 관계를 파악하면
모르는 것이 이해되고 오래 기억하게 되죠
하지만 모르는 것을 내가 아는 것과 연결시키지 못하고
그냥 받아들이려고 하면요
이해도 안 되고 오래 기억하기도 어렵습니다
이것이 바로 논리입니다
논리라는 것은 내가 아는 것으로 모르는 것을 이해하는 거죠
설득이라는 것은 상대방이 아는 것과 내가 주장하는 것을
연결시켜서 제시하는 겁니다
문제 해결도 마찬가지죠
모르는 문제를 해결하는 유일한 방법은
내가 아는 것과 모르는 것을 연결시키는 겁니다
이것은 디지털 콘텐츠 창작자인 여러분한테도 꼭 필요한 것인데
이번 시간에는 이런 내용을 한 번 살펴보겠습니다
익숙한 것 찾기
문제 해결이란 모르는 것을 내가 아는 것과 연결시켜서
해답을 찾는 것이라고 강조했는데요
그래서 잘 모르고 익숙하지 않은 문제를 딱 마주쳤을 때는
그 안에서 내가 이미 잘 알고 있고 익숙한 것을 찾아봐야 합니다
익숙한 것을 찾아 모르는 것과의 관계를 파악하는 거죠
그렇게 하는 과정을 통해서 모르는 문제 해답을 찾아가는 것이니까요
문제를 통해서 구체적으로 살펴볼까요
문제 1 다음 주어진 삼각형의 넓이를 구하세요
이 문제를 해결하기 위해 우리한테 익숙한
30도, 60도, 90도 직각삼각형을 생각해 보겠습니다
문제에서 주어진 각이 30도이기 때문에
다음과 같이 30도, 60도, 90도인 직각삼각형을 한번 그려볼까요
30도, 60도, 90도 직각삼각형은
정삼각형으로부터 만들어집니다
다음과 같이 정삼각형을 반으로 나누면
30도, 60도, 90도 직각삼각형이 만들어지죠
여기서 주목할 부분은 길이의 비 인데요
직각삼각형의 빗변의 길이가 짧은 한 변의 2배가 된다는 사실입니다
30도, 60도, 90도 직각삼각형의 길이의 비를
앞에서 살펴본 문제의 상황에 적용해 보면
주어진 삼각형의 높이는 빗변이 8이기 때문에
높이가 4라는 것을 알 수 있습니다
상황을 정리해 보면 문제에서 주어진 삼각형은
밑변이 6이고 높이가 4인 삼각형인 겁니다
따라서 삼각형의 넓이는 6 곱하기 4 곱하기 2분의 1
12가 답입니다
정삼각형을 반으로 잘라서 만든 30도, 60도, 90도 직각삼각형의 길이의 비는
유클리드 기하학문제를 풀 때 핵심적으로 활용됩니다
피타고라스의 정리를 적용하면 이 삼각형의 길이의 비가
1대 루트 3대 2라는 사실도 알 수 있는데
우리는 피타고라스의 정리를 다루지 않았기 때문에
1대 루트 3대 2라는 길이의 비는 사용하지 않고
지금 살펴본 것처럼
빗변과 짧은 변의 길이의 비가 2대 1이라는 사실만을 활용하겠습니다
자주 활용되는 또 하나의 직각삼각형은
정사각형을 대각선으로 반 잘라서 나온
45도, 45도, 90도
직각삼각형입니다
이 직각삼각형의 길이의 비는
빗변을 제외한 두 변의 길이가 같다는 것이 자주 활용되죠
문제를 풀면서 이 직각삼각형들이 어떻게 활용되는지
한 번 살펴보시면 좋을 것 같습니다
문제 2 다음과 같이 주어진 그림에서 x의 값을 구하세요
이 문제는 복잡한 형태로 주어졌지만
일단 원래 있었던 조각들이 잘려 나간 것이다 라고 생각해 보시죠
잘려 나갔을 것 같은 조각들을 한번 상상해 보는 겁니다
그래서 잘려 나갔을 것 같은 조각들을 한번 붙여 보시죠
A와 E의 각이 120도인데
180도 빼기 120도는 60도입니다
이것을 생각하면 AE외에
다음과 같은 정삼각형을 붙여서 생각해 볼 수 있습니다
이렇게 정삼각형을 AE에 붙이고 나면
나머지 BC에는 30도, 60도, 90도인 직각삼각형을 붙여서
전체를 큰 하나의 30도, 60도, 90도 직각삼각형으로 만들어 볼 수 있죠
전체 큰 직각삼각형 GDF는 30도, 60도, 90도 직각삼각형이기 때문에
빗변과 짧은 변의 길이의 비가 2대 1입니다
DF는 5 더하기 7
12이므로
GF는 24입니다
GB가 6이고 AF는 7이기 때문에
GF는 GB 더하기 x 더하기 AF
6 더하기 x 더하기 7
이것이 24가 되겠죠
따라서 x는 11입니다
또 하나의 문제를 살펴보겠습니다
문제 3 다음 그림과 같이 주어졌을 때 AB의 길이를 구하세요
이 문제도 문제 2와 같이 한 부분이 잘려 나간 것이라고 상상하시고
잘려 나가기 이전의 원래의 모습을 생각해 보면
정삼각형 OBC를 지금 보시는 것처럼 생각할 수 있습니다
잘려 나간 부분은 다음과 같이
30도, 60도, 90도인 직각삼각형 OAD라는 것을 알 수 있죠
OBC가 정삼각형이기 때문에
OD는 2이고
직각삼각형 OAD가 30도, 60도, 90도인 직각삼각형이기 때문에
OA는 4입니다
따라서 x 더하기 4는 12
x는 8이 답입니다
앞에서 살펴본 것처럼
정삼각형과 정사각형을 반으로 나눠서 만들어지는 직각삼각형은
유클리드 기하학에서 매우 유용하게 사용되는데요
잠깐 정리하면 다음과 같이
30도, 60도, 90도 직각삼각형과
45도, 45도, 90도 직각삼각형
이렇게 두 가지의 직각삼각형을 생각할 수 있고
두 직각삼각형의 길이의 비는 다음과 같습니다
문제를 풀면서 이 직각삼각형 두 개를 활용해서
문제를 한 번 더 풀어 보겠습니다
문제 4 다음과 같이 AB는 AC는 8이고
각 B가 75도인 이등변삼각형의 넓이를 구하세요
주어진 도형에 관한 정보를 좀 더 파악해 보면
각 B가 75도이기 때문에 각C도 75도이고
각A는 180도에서 75도 곱하기 2
150도를 뺀 30도입니다
이렇게 정보를 써놓고 보면
각 B는 75도 내 75도는
60도 더하기 15도로 나눠서 생각해 볼 필요가 있다는 생각이 들죠
다음과 같이 점 B에서 AC로
각 ABD가 60도가 되는 점 D를 찾아서
선분 BD를 그어 보겠습니다
이렇게 선을 그어 보면 삼각형 ABD가
우리한테 익숙한 30도, 60도, 90도
직각삼각형이라는 것을 알 수 있습니다
30도, 60도, 90도 직각삼각형의 길이의 비에 따라
AB대BD는 2 대 1입니다
따라서 BD는 4이고
BD가 삼각형 ABC에서 빗변 AC의 높이가 되는 거죠
결론적으로 삼각형ABC의 넓이는 다음과 같이 계산할 수 있습니다
2분의 1 곱하기 4 곱하기 8
16이 답입니다
다시 한번 강조하면 모르는 것을 파악하는 유일한 방법은
아는 것을 통해서 모르는 것에 접근하는 겁니다
유클리드 기하학에서는 많은 내용을 알 필요가 없습니다
특별한 직각삼각형 30도, 60도, 90도
직각삼각형 45도, 45도, 90도
이 정도만 활용할 수 있으면 많은 문제를 풀 수 있습니다
우리한테 필요한 특별한 직각삼각형을 찾는 것이 문제 해결의 핵심인 거죠
또 하나의 문제를 보시죠
문제 5 빗변의 길이가 2, 한 각의 크기가 15도인 다음 직각삼각형의 넓이는 얼마일까요
우리가 잘 알지 못하는 15도의 각도의 직각삼각형이 문제로 주어졌죠
앞에서 말씀드린 것처럼 우리는 30도, 60도, 90도의 직각삼각형을 아는데
15도는 잘 모르는 겁니다
우리가 알고 있는 30도, 60도, 90도의 각도를 갖는 직각삼각형을
어떻게 활용할 수 있을까 생각해 보시면요
주어진 삼각형을 다음과 같이 복사해서 옆으로 붙여서
꼭지점이 30도의 각을 갖는 삼각형을 한번 생각해 보시죠
이렇게 한 각이 30도인 삼각형을 생각해 보면
우리가 알고 있는 30도, 60도, 90도의 각을 갖는
특별한 직각삼각형을 찾을 수 있습니다
이 직각삼각형의 빗변과 짧은 변의 길이의 비는 2대 1입니다
따라서 삼각형 ACC`의 넓이는
2분의 1 곱하기 2 곱하기 1
1입니다
우리가 구하는 삼각형 ABC의 넓이는 이것의 반이 되겠죠
2분의 1이 답입니다
계산하기와 상상하기
우리는 수학문제를 보면서
x, y 변수를 잡아서 어떻게 계산할까
이런 생각을 먼저 하게 되는데요
하지만 그런 계산을 하기 전에
뭔가 생각하고 상상하는 것이 필요한데요
수학이라고 하면 복잡한 계산하는 것이라고 생각하는 경우가 많은데
그것은 진짜 수학이 아닙니다
다양한 생각을 하면서 새로운 상상을 하는 과정이
먼저 그런 과정을 먼저 거친 다음에
그것을 처리하는 과정에서 필요한 것이 계산인 거죠
이것을 디지털 콘텐츠 창작자인 여러분들한테도 비슷하게 적용될 것 같습니다
무작정 컴퓨터 앞에 앉아서 작업을 시작하시는 것보다는
어떤 작업을 어떻게 할 것인지
먼저 상상하는 시간을 갖는 것이 효과적일 것 같습니다
우리는 지금 고대 그리스의 유클리드 기하학을 배우고 있는데요
고대 그리스인들은 계산 기술이 없었습니다
우리가 지금 사용하는 십진법은 매우 발전된 형태의 위치 기술법입니다
사칙 연산뿐만이 아니라 다양한 계산을 우리는 쉽게 하지만
고대 그리스인들은 곱하기와 나누기를 하는 것도 매우 어려워했습니다
그래서 계산보다는 상상하면서 논리적으로 생각하는 과정을 더 많이 했던 것 같습니다
그리고 그런 상상과 논리가
지금과 같은 문명을 이루는 큰 주춧돌이 되었다는 거죠
예를 들어 이런 문제를 한 번 생각해 볼까요
지금 보시는 다음과 같은 그림 안에서
대각선의 길이가 10인 정사각형의 색칠한 부분의 넓이는 얼마일까요
이 문제를 중고등학생한테 물어보면 대부분의 학생들은 계산을 합니다
계산 능력이 없었던 고대 그리스인들은 이 문제를 어떻게 풀었을까요
그러니 이 문제를 다음과 같이 상상력을 발휘하면서
논리적으로 해결했을 것 같습니다
문제에 주어진 도형을 복사하여
다음과 같이 붙여보는 것을 한 번 생각해 보시죠
이렇게 붙여보면 우리가 구하는 부분은
한 변의 길이가 10인 정사각형의 4분의 1 이라는 것을 알 수 있습니다
한 변의 길이가 10인 정사각형의 넓이는 100이겠죠
색칠한 부분의 넓이는 25입니다
필요할 때는 계산을 해야 합니다
하지만 계산보다 먼저 상상을 하며
다양한 방법으로 문제에 접근하는 것이
문제 해결에 좋은 방법입니다
무턱대고 계산부터 하는 것은 좋은 습관이 아닌 거죠
문제 하나를 소개하겠습니다
문제 6 다음과 같이 주어진 도형의 넓이를 구하세요
주어진 도형은 정사각형과
30°, 60°, 90°인 직각삼각형으로 나눠서 생각할 수 있습니다
문제에 주어진 도형 중 30°, 60°, 90° 직각삼각형을
작은 30°, 60°, 90° 직각삼각형으로
지금 보시는 것처럼 4등분을 한번 해보겠습니다
30°, 60°, 90° 직각삼각형의 두 변을 AB라고 하면
빗변은 EA가 되겠죠
이렇게 만들어진 작은 30°, 60°, 90° 직각삼각형의 빗변은
왼쪽 정사각형의 한 변의 길이와 같습니다
따라서 지금 보시는 것처럼 붙여 보시면
전체가 하나의 정사각형이 됩니다
문제의 조건은 EA 더하기 EB가 6이라는 것입니다
작은 직사각형 4개를 잘라서 붙여서 만든
새로운 하나의 정사각형의 한 변의 길이는 A 더하기 B
3입니다
따라서 새롭게 만들어진 정사각형의 넓이는
3의 제곱
9죠
우리가 구하는 도형의 넓이는 9입니다
같은 문제를 여러 가지 방법으로 풀어보는 것은
다양한 시각을 갖게 하고 새로운 것을 생각하게 하는
매우 좋은 공부법입니다
이 문제를 또 다른 방법으로 한번 풀어보겠습니다
먼저 다음 그림을 한번 보시죠
다음과 같이 직각이등변삼각형과
각이 30°인 이등변삼각형을 관찰해 보시면요
두 도형이 밑변이 같을 때 높이도 같다는 것을 우리는 알 수 있습니다
밑변이 같을 때 높이가 같다
두 삼각형의 밑변을 EA라고 하면
두 삼각형의 높이는 모두 A로 같은 겁니다
밑변과 높이가 같기 때문에 두 삼각형의 넓이도 같겠죠
이 사실을 이 문제에 적용해 보겠습니다
다음과 같이 AD를 연결하는 선분과 평행한 선을
A점을 지나게 한 번 긋고
그 선의 CD의 연장선과 만나는 점을 A'이라고 하면
삼각형 BA'D는 각 A'BD가 30°가 되는 이등변삼각형이 됩니다
이렇게 하면 직각이등변삼각형 ABD와
이등변삼각형 BA'D의 넓이가 같기 때문에
이제 문제 6은 큰 이등변삼각형 CBA'의 넓이를 구하는 것으로
해결할 수 있습니다
정리하면 한 변의 길이가 6이고 각이 30°인
이등변삼각형의 넓이를 구하는 문제로 바뀐 거죠
각이 30°인 이등변삼각형의 넓이를 구하는 것은
문제 4에서 이미 풀었습니다
같은 방법으로 풀어 보면 30°, 60°, 90° 직각삼각형을
그림과 같이 찾아보면
밑변이 6이고 높이가 3인 이등변삼각형인 것을 알 수 있죠
따라서 넓이는 6 곱하기 3 곱하기 2분의 1
9입니다
아이디어가 있고 놀라운 통찰력을 요구하는 문제를 하나 더 소개하겠습니다
아는 도형을 찾아야 하는 문제인데요
문제의 해결을 보시면
와 이런 것도 있었네 하는
감탄사를 나도 모르게 내뱉게 됩니다
한번 도전해 보시죠
문제 7 다음 정사각형에서 색칠한 삼각형의 넓이를 구하세요
이 문제는 주어진 정보가 너무 적은 거 아닌가 라는 생각을 하게 합니다
약간 황당하기도 한데요
정사각형과 직각삼각형이 주어졌다는 것에 주목하실 필요가 있습니다
정사각형의 직각삼각형을 다음과 같이 복사해서
4개를 내부에다가 붙여 볼 수가 있는데요
여기서 색칠한 부분과 관련된
2개의 직각삼각형을 살펴볼 필요가 있습니다
색칠한 삼각형 ADE는 밑변 AB의 길이가 6이고
높이가 6인 삼각형으로 파악할 수 있는 겁니다
눈에 들어오십니까
이 그림을 보시고 이해하시면 좋을 것 같고요
따라서 넓이는 6 곱하기 6 곱하기 2분의 1
18이 답입니다
수학시험을 본다면 빠르게 답을 내고 정확하게 계산해서
정해진 시간 안에 답을 쓰는 것이 필요하겠죠
하지만 수학 공부를 할 때는 빠르게 하나의 답을 내는 것이 중요하지 않습니다
빠르게 하나의 답을 내는 것만 한다면 별다른 공부가 되지 않는 경우도 많죠
하나의 문제를 다양하게 생각해 보고 깊게 생각하면서 문제를 풀어 본다면
공부가 잘 되는 겁니다
그런 의미에서 단순하게 계산만 하기보다는
다양하게 여러가지 생각을 하면서 논리적으로 따져보는 것이
진짜 공부가 될 겁니다
이것은 디지털 콘텐츠를 만드는 여러분들한테도 꼭 필요한 태도라고 생각합니다
정해진 것을 뚝딱 만들어가는 것이 아니라
또 다른 것을 생각하며 더 다양하게 접근해 보는 것이
창작자의 기본 태도겠죠
예술과 비즈니스로 생각하면 디지털 콘텐츠 창작자는
예술 플러스 비즈니스를 같이 하는 사람입니다
결과를 내는 것이 비즈니스라면
다양하게 여러가지를 생각하는 것이 예술일 겁니다
두 마리의 토끼를 모두 잡는 유능한 디지털 콘텐츠 창작자가 되시면 좋겠습니다
익숙한 것 찾기 잘 모르고 익숙하지 않은 문제를 마주쳤을 경우, 그 안에서 이미 잘 알고 있고 익숙한 것을 찾아 모르는 것과의 관계를 파악해야 함
모르는 것을 파악하기 위해서는 아는 것을 통해 모르는 것에 접근해야 함 30도 60도 90도인 직각삼각형과 45도 45도 90도인 직각삼각형을 통해 대부분의 문제를 풀 수 있음
계산하기와 상상하기 문제를 풀기 위해 계산하기 전, 생각하고 상상하는 과정이 필요함
수학은 복잡한 계산을 하는 것이 아닌 다양한 생각과 새로운 상상을 한 뒤 그것을 처리하는 과정에서 계산을 수행하는 것임
같은 문제를 여러 가지 방법으로 풀어보는 것은 다양한 시각을 갖게 하고 새로운 것을 생각하게 함 다양하게 여러 가지를 생각하며 논리적으로 따져보는 자세를 가져야 함